CHAPITRE XII. DÉRIVÉES ET INTEGRALES ^H

y soit uniformément convergente et que la courbe (C) définie par les formules

z = «p(t) H- ity(t), *<i<P,

y soit contenue; je désignerai par F.(z) la somme de la série, par Sn(z) la somme de ses n premiers termes et par Rn(z) le reste correspondant.

Les fonctions fn(z), F(z), Rn(z) deviennent des fonctions de la variable réelle t, continues dans l'intervalle (a, p) quand on y remplace z par <p(/) H- 1^(2).

En désignant par a et 6 les points de la courbe (G) qui correspondent aux valeurs a, [i du paramètre, et en supposant toutes les intégrales prises le long de la courbe (C), on a

rb r-b fb rb

¥(z)dz = fx{z)dz H- /,(*) + ... + fn(z) + ....

t/o t/a «ya «y a

Soit en effet s un nombre positif quelconque; à ce nombre correspond un entier p tel que Ton ait |RB(z)| <C s, pour tous les points de (E) et, par conséquent pour tous les points de (G), sous la condition n>p. On a d'ailleurs

F(z)dz= Sn(z)dz-r R„(2)rfz.

a Ja Ja

et par conséquent, sous la condition n ï> p,

Jnb r>b fb nb

a ,7a Ja Ja

nb I

R„(z) dz < sa,

en désignant par c la longueur de la courbe (C). La proposition est démontrée, puisque s peut être pris ausssi petit qu'on le veut. Un cas qui se présente assez fréquemment est celui où il y a une série convergente à termes positifs ou nuls

(") «, + *s+ ••• + an + •••

tels que l'on ait, pour toutes les valeurs naturelles de n et pour tous les points de E,

la série (/) est alors absolument et uniformément convergente et son reste est en valeur absolue, moindre que le reste correspondant de la série (a) (n° 183).

Supposons par exemple que la série entière en z

F(z) = a0 + eijz -+- ... H- anzn H- ...

soit absolument convergente pour z = A, A étant un nombre positif qui sera inférieur ou égal au rayon de convergence de la série ; il en sera de même de la série

FJz) a0 «t a«-i . an

2>i+l zn+ï z'1 Z2 ~+~ Z

+ an+i -+- dn+2z "+"••■

Prenons pour l'ensemble (E) et pour la courbe (C) le cercle de centre o et de rayon A; on supposera ce cercle décrit dans le sens direct. Le théorème relatif à l'intégration s'applique évidemment, en vertu de la remarque qu'on vient de faire ; les intégrales des différents termes du second membre, prises le long du cercle (G) sont toutes nulles, sauf l'intégrale

^dz

'(C) z qui est égal à 2 zian, comme on l'a vu au n° 385. On a donc

Soit M la borne supérieure de la valeur absolue de F (z) pour les points 2 situés sur le cercle C, ou un nombre plus grand ; la

valeur absolue de — -çl sera inférieure ou égale à .^ . la longueur de cercle est i nk ; on a donc