CHAPITRE XII. DÉRIVÉES ET INTÉGRALES k

Il convient de rapprocher cette importante inégalité de la proposition, due à Abel, en vertu de laquelle la série F (z) est convergente pour | z j < A' si l'on a, quelque soit n,

en désignant par A' et M' des nombres positifs fixes (n° 342). L'inégalité (2) met en évidence la proposition suivante : Une fonction entière (transcendante ou non) ne peut être bornée dans tout le plan sans se réduire à une constante :

Supposons en effet que la série F (z) soit convergente, quel que soit z ; on pourra alors prendre A aussi grand qu'on le veut ; si la somme F (z) de cette série devait rester, quel que fût z, inférieure en valeur absolue à un nombre positif fixe, on pourrait prendre ce nombre pour M et l'inégalité (2) montrerait que | an j, lorsque n est plus grand que o, peut être supposé aussi petit qu'on veut. Tous les coefficients de la série (/) sont donc nuls, sauf a0.

391. — Il est bien clair, d'après la définition du n° 383, qu'une intégrale

f /(*) dz

dépend en général du chemin d'intégration; toutefois on a vu, dès le numéro suivant, que si la fonction f(z) est la dérivée d'une fonction F (2), dans un continunm (E) complété ou non par sa frontière auquel appartient le chemin d'intégration, on a

£ f(z)dz=¥(b)-F(a),

en sorte que le premier membre est indépendant du chemin d'intégration, pourvu que ce chemin reste dans (E). Dans les exemples traités ensuite et qui concernent les intégrales

Çdz r dz r dz

on remarque que l'ensemble (E) peut être constitué par un do-

/jl/j INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

maine simple ne contenant pas, suivant les cas, le point o, l'un ou l'autre des points dz i, l'un ou l'autre des points ± i.

On peut se demander si, une fonction f(z) étant donnée, on peut lui attacher ainsi un ensemble (E) tel que l'intégrale

fa f{Z)dZ

ne dépende pas du chemin d'intégration qui relie a à b.

Considérons deux chemins allant de a à 6 tels que les valeurs correspondantes de l'intégrale soient égales ; il est clair que la valeur de l'intégrale prise le long du premier chemin de a à 6, augmentée de la valeur de l'intégrale prise le long du second chemin, parcouru de 6 à a, donnera un résultat nul; réciproquement, s'il en est ainsi, les deux intégrales prises de a à 6 sont égales ; le problème posé revient donc à la détermination d'un ensemble (E) telle que l'intégrale I f(z) dz prise le long d'une courbe fermée appartenant à (E) soit toujours nulle. Un théorème capital, dû à Cauchy, répond à cette question. Il fera l'objet des nos 392, 393, 394.

392. — Soient (D) un domaine simple et (C) la courbe fermée simple qui en est la frontière. Soit f[z) une fonction de z admettant une dérivée /' (z) pour chaque point z de (D). L'intégrale

f f(z) dz,

qui est prise le long de la courbe (C), est nulle.

Sauf avis contraire, dans le présent numéro et les suivants, je supposerai, sur les intégrales de cette sorte, que les courbes fermées simples auxquelles elles se rapportent sont décrites clans le sens direct.

Soit a un point quelconque de (D) ; la fonction

définie, tant que z est un point de D, différant de a, a pour limite /'(a)-quand z s'aproche de a en restant dans D ;