CHAPITRE Xll. DÉRIVÉES ET INTÉGRALES 4l

Considérons la fonction (0 e(,,a)=M^M -/(«);

si nous lui attribuons la valeur o pour z = a, elle sera définie pour toutes les valeurs de z et de a qui appartiennent à (D ; considérée comme une fonction de z, elle est continue clans ce domaine.

On a d'ailleurs

et, par suite,

f /(*)&= f [/(«) + (z - a)f'(a)) dz

+ f B(z,a)(z — a)dz;

la première intégrale du second membre est évidemment nulle, puisque c'est la différence des valeurs que prend le polynôme en z

pour deux valeurs égales de z ; tout revient donc à l'étude de l'intégrale

f Q(z,a)(z-a)dz-

on pourra profiter, pour cela, de l'indétermination du point a cjui est seulement assujetti à faire partie du domaine (D). Observons en. passant que la valeur absolue du produit Q(z, a) (z — a) qui figure sous la signe I peut être petite en raison de la petitesse en valeur absolue soit du premier facteur, soit du second et que, si tous les points z de (C) sont très voisins de a, en sorte que 2 — a soit très petit, en valeur absolue, pour tous ces points, il en sera de même de Q(z, a), puisque la fonction 6^z, a) est continue pour z = a et que l'on a d (a, a) = o.

4l6 INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS