Pour établir que l'intégrale

est nulle, le procédé consiste à décomposer ce domaine (D), dont la courbe (G) est la frontière, en deux ou plusieurs autres domaines simples ; l'intégrale proposée est la somme d'intégrales analogues relatives aux frontières du domaine partiel (n° 384). Cela permet d'abord de simplifier un peu le problème : Si l'on parvient à une décomposition dans laquelle les intégrales relatives aux contours du domaine partiel soient nulles, on aura évidemment démontré que l'intégrale proposée est nulle.

On a vu au n° 314 comment en introduisant des segments de droites parallèles à l'axe des ordonnées, on pouvait effectuer une série de décompositions qui finissait par aboutir à ces figures que l'on a appelées alors des trapèzes ; je conserverai celte dénomination ; il est bien clair d'après cela que la proposition à démontrer sera effectivement démontrée si on l'établît quand le domaine (D) est un trapèze. Ce trapèze peut être décomposé lui-même en trapèzes soit par des parallèles à l'axe des ordonnées, soit par des parallèles à l'axe des abscisses. Le lecteur ne peut manquer de reconnaître qu'il suffit de démontrer la proposition dans le cas d'un trapèze tel que la figure AA'B'B où les deux côtés AA', BB' sont parallèles à l'axe des ordonnées, où le côté AB est parallèle à l'axe des abscisses, où enfin le côté A'B' est un arc élémentaire (n° 320) dans lequel 1 ordonnée reste constante, ou bien varie toujours dans le même sens quand l'abscisse augmente ; je m'occuperai d'abord du premier cas, dans lequel le domaine (D) est un rectangle (R) dont les côtés sont parallèles aux axes.

Le mode de démonstration va consister à décomposer le rectangle (R) en rectangles plus petits par des parallèles aux axes et de démontrer que la somme des intégrales / f(z) dz effectuée pour le contour de chacun des petits rectangles, somme qui est égale à l'intégrale prise le long du contour de R , peut être rendue

Fig. 4g.