CHAPITRE XII. DÉRIVÉES ET INTÉGRALES 4l

aussi pelite qu'on le veut. D'ailleurs aux intégrales j f(z) dz, pour chaque rectangle partiel, on substituera (n° 392; une intégrale du type

Js(z,a){z-a)dz,

où a est un point appartenant au rectangle partiel, choisi afin de rendre très petite l'intégrale considérée.

On va montrer en effet que, si l'on se donne un nombre positif i arbitrairement petit, on peut décomposer (R) en rectangles partiels de sorte qu'il y ait, pour chacun d'eux, un point a lui appartenant et tel qu'on ait pour chaque point z du contour,

Pour abréger le langage, je dirai d'un rectangle (r) dont tous les points appartiennent à R qu'il est du type S (s) s'il y a un point a appartenant à ce rectangle (r) et tel que l'inégalité précédente soit vérifiée pour tous les points de son contour ; s'il n'existe pas de tel point a, je dirai au contraire du rectangle (r) qu'il est du type T (s) : dans ce dernier cas, quel que soit le point a appartenant au rectangle (r), il y a, sur le contour de ce rectangle, au moins un point z pour lequel on a | $ (z, a) | > £.

Si (R) n'est pas lui-même du type S (s), décomposons-le en quatre rectangles par des parallèles à ses côtés menés par le centre. — Dans la suite, quand on parlera de la décomposition d'un rectangle en quatre, on supposera la décomposition effectuée de cette même façon. — Cette première décomposition effectuée, si, parmi les rectangles partiels, il y en a qui soient du type S (s), on les laissera de côté, pour n'y plus toucher : les autres rectangles partiels sont du type T(e) ; désignons par (R,) l'ensemble des points qui leur appartiennent et supposons qu'on décompose chacun d'eux en quatre. Si, parmi les nouveaux rectangles partiels, il y en a qui soient du type S (s), on les laissera de côté, pour n'y plus toucher ; les autres nouveaux rectangles partiels sont du type ï (s ; désignons par (R2) l'ensemble des points qui leur appartiennent et supposons qu'on décompose chacun d'eux en quatre. Si, parmi les nouveaux rectangles partiels, il y en a qui soient du type S (Y ,

Tannery II. — Introduction à la Théorie des fonctions 27

4l8 INTRODUCTION A i,\ THEORIE DES FONCTIONS

ç>n les laissera de côté, pour n'y plus toucher ; les autres nouveaux rectangles partiels sont du type T (s) ; désignons par (R3) l'ensemble des points qui leur appartiennent, etc..

L'ensemble parfait (Rj) est formé par la réunion de rectangles égaux, clont les côtés sont les moitiés des côtés du rectangle (R). ... L'ensemble parfait (R„) est formé par la réunion de rectangles dont les côtés s'obtiennent en divisant par in les côtés du rectangle (R). Chaque point de (R„) appartient à l'un de ces petits rectangles.

Mon but est d'établir que les opérations se terminent, qu'au bout d'un nombre fini de décompositions, il ne restera plus que des rectangles du type S (s), à savoir ces rectangles, en général inégaux, qu'on a laissés de côté à chaque opération ; il faut prouver que leur ensemble finit par recouvrir (R) tout entier.

Supposons, en effet, pour parvenir à une contradiction, que les opérations ne se terminent pas, qu'il y ait toujours des rectangles du type T(s), quelque loin que l'on pousse les décompositions. Alors la suite d'ensembles parfaits

sera infinie ; chacun de ces ensembles est contenu dans ceux qui le précèdent : il y a donc (nos 156, 283) au moins un point k qui appartient à tous ces ensembles. Ce point k, d'après ce qu'on vient de dire, appartient à un rectangle (>), du type T(s), dont les dimensions peuvent être supposées aussi petites qu'on le veut, en sorte que l'on a pour quelque point z du contour de ce rectangle

mais, en vertu de la continuité de la fonction 6(z, k) au point k, on peut au nombre s faire correspondre un nombre positif r, tel que l'on ait

pourvu que z appartienne à (R ) et que la distance des deux points : et k soit moindre que -/] : or il y a évidemment contradiction entre les deux inégalités précédentes si les dimensions du rectangle (r) sont assez petites pour que la distance de deux points quelconques de ce rectangle soit moindre que r,.