CHAPITRE XII. DÉRIVÉES ET INTÉGRALES 4lO

La proposition est donc démontrée (1).

Supposons donc effectuée la décomposition de (R) en m rectangles du type S (s), comme on l'a expliqué ; tous ces rectangles sont semblables et l'on peut, en désignant par p et q les côtés du rectangle (R), représenter par Xp, }.q les côtés de l'un quelconque (r) des rectangles partiels ; on aura, en choisissant, parmi les points qui appartiennent à (r) le point a de manière que l'on ait

pour tous les points z du contour de (r), et en supposant que l'intégrale soit prise le long de ce contour

j 0(r, a) {z — a) dz \ <^ zlh Jp^hTf* (p + q),

puisque 2X(p H- q) est la longueur du chemin d'intégration et que la plus grande distance de deux points du rectangle est évidemment \fp2 -+- qi ; le second membre de l'inégalité précédente, en posant pour abréger,

m = 2 (P ■+- rl) vV -+- rl\

pq

est manifestement égal au produit par nu de l'aire du rectangle (r); la somme des intégrales

jHz,a)(z-a)dz

relatives aux différents rectangles partiels qui figurent dans la décomposition sera donc moindre, en valeur absolue, que le produit par ms. de l'aire pq du rectangle ( R) ; on aura donc finalement

m àz

<- mipq,

(1) Il n'est peut-être pas inutile d'observer qu'on aurait pu commencer par décomposer le rectangle (R) en rectangles de dimensions aussi petites qu'on voudrait, puis traiter ceux des rectangles partiels qui sont du type T(s) comme on a fait le rectangle (R). Par conséquent on peut décomposer le rectangle (R) en un nombre fini de rectangles du type S (s), et de dimensions aussi petites qu'on le veut.

l'intégrale étant prise maintenant le long du contour du rectangle (R) ; comme le second membre peut être supposé aussi petit qu'on le veut, on a finalement

m dz

Il reste à démontrer la proposition quand le domaine (D) est un trapèze tel que ABB'A' dans lequel le côté AB est parallèle à l'axe des abscisses et les côtés A A', BB' parallèles à l'axe des ordonnées, dans lequel enfin A'B' est un arc élémentaire de courbe ; je supposerai que, pour cet arc, l'ordonnée croisse en même temps que l'abscisse. En menant par le point le plus bas A' une parallèle à l'axe des ordonnées jusqu'à la rencontre en S avec le côté BB', on décompose le trapèze en un rectangle AA'jSB et une sorte de triangle A'B'j'S ; l'intégrale prise le long du trapèze est égale à la somme de l'intégrale prise le long du rectangle, qui est nulle, et de l'intégrale prise le long du triangle ; tout revient donc à démontrer que cette dernière intégrale est nulle. Pour cela je ferai subir au triangle une opération que je désignerai sous le nom de réduction à deux triangles ; elle consiste à mener d'abord par le milieu G du côté A'B une parallèle CC' à l'axe des ordonnées, jusqu'à la courbe, de manière à décomposer le triangle en un triangle plus petit A'CC' et en un trapèze GpB'C, que l'on décompose, comme on a fait pour le trapèze primitif en un rectangle CjSyC' et un triangle C'yB' ; l'intégrale prise le long du triangle A'pB' est égale à la somme des intégrales prises le long des triangles A'CC, C'yB' : c'est la substitution de ces deux triangles au triangle A'^B' que je désigne sous le nom de réduction de ce dernier triangle. On procédera ensuite comme on a fait pour le rectangle. On dira d'un triangle qu'il est du type S s) ou du type ï (s) suivant qu'il existera, ou non, un point a intérieur au triangle ou situé sur l'un de ses côtés tel que l'on ait pour tous les points z du contour du triangle

Fie. 5o.