CHAPITRE XII. DÉRIVÉES ET INTEGRALES

et l'on montrera qu'on parvient, au moyen d'un nombre fini de réductions, à une suite de triangles qui sont tous du type S (s) ; pour chacun de ces triangles la distance des points z et a reste inférieure à la distance maximum / de deux points du triangle A'/3B' ; la somme des périmètres des triangles auxquels on aboutit est égale au périmètre L du triangle A'^B' ; on en conclut que la somme des intégrales

effectuées le long des divers triangles ou, ce qui revient au même, l'intégrale

effectuée le long du trapèze primitif, est inférieure ou égale en valeur absolue à ILs. Il en résulte qu'elle est nulle. Le théorème de Cauchy est entièrement démontré.

La démonstration précédente, qui est due à M. Goursat, est très intéressante en ce qu'elle ne fait intervenir aucune autre hypothèse relative à la fonction f{z) que l'existence de sa dérivée en tout point du domaine simple (D). Cette hypothèse interviendra donc seule dans les conséquences immédiates du théorème de Cauchy : parmi ces conséquences vont figurer l'existence et la continuité de toutes les dérivées, puis la régularité de la fonction, en tout point intérieur au domaine (D) : ces affirmations suffisent à faire prévoir le caractère fondamental du théorème, qui joue vraiment Je rôle d'un principe. Avant d'établir ces conséquences, il convient d'exposer une généralisation du théorème, qui est immédiate.

394. — Au lieu d'un domaine simple, considérons un domaine n+i fois connexe que nous continuerons de désigner par (D) : je suppose (n° 312) qu'il soit l'ensemble des points qui appartiennent à une courbe fermée simple (F), de ceux qui appartiennent à 7i courbes fermées simples (F'), (F"), ..., [F(,l)] intérieures à (F), et extérieures deux à deux les unes aux autres, enfin des points extérieurs à ces dernières courbes et intérieurs à (F) ; désignons par (H) l'ensemble des n ■+■ i courbes qui constituent la fron-

tière du domaine ; je rappelle que la frontière [il) est parcourue dans le sens direct quand la courbe (F) est parcourue dans le sens direct et les courbes (F'), (F"), ..., [F(n)] dans le sens indirect.

Soit maintenant f (z) une fonction de la variable z qui admette une dérivée en tout point du domaine (D), l'intégrale

/(z) dz

prise le long du contour (H) décrit clans le sens direct, c'est-àdire la différence entre l'intégrale l f(z) dz prise le long de la courbe (F) décrite dans le sens direct et les sommes des intégrales I f{z) dz prises le long des courbes (F'), (F"), ..., [F(n)] décrites

dans le sens direct, est nulle.

Il suffit, pour le voir, de décomposer, comme au n° 312, le domaine (D) en deux domaines simples au moyen de n -+- i courbes simples, d'appliquer le théorème précédemment démontré aux contours de ces deux domaines simples et d'ajouter les résultats obtenus ; dans la somme nulle d'intégrales que l'on obtient ainsi, les parties relatives aux n H- i courbes simples que l'on a introduites se détruisent et il reste l'intégrale

f(z) dz, (H)

qui, par conséquent, est nulle.

395 — Considérons, en conservant les mêmes notations, une fonction f(z) qui admette une dérivée dans le domaine (D), simplement ou plusieurs fois connexe, dont la frontière est (H) ; soitx un point intérieur à ce domaine, on aura

où il est entendu que la frontière (H) doit être décrite dans le sens direct.

Décrivons en effet un cercle (y) du point x comme centre avec un rayon /• assez petit pour que le cercle soit tout entier intérieur à