CHAPITRE VII. INTÉGRALES DEFIMES

256. — Soit donc o (x) une fonction qui, quelque voisin clu nombre a que soit le nombre c, compris entre a0 < a et a, soit bornée et intégrable dans l'intervalle (%, |) ; il s'agit, en supposant que la fonction © (a?) devienne infinie aux environs de x = a, de reconnaître si l'intégrale

«ï> (£) = I © (ce) c?cc

tend vers une limite lorsque £ tend vers a par des valeurs croissantes.

C'est un problème de même nature que celui qui consiste à reconnaître si une série donnée est convergente ou non.

On remarquera d'abord que rien n'empêche, quand on cherche à répondre seulement à la question posée, de substituer au nombre a0 un nombre fixe quelconque compris entre a0 et a, mais distinct de a.

Le théorème du n° 158 fournit immédiatement la règle suivante :

Pour que l'intégrale proposée ait une limite, il faut et il suffit qu'à chaque nombre positif a. corresponde un nombre a! < a, tel que les inégalités

entraînent l'inégalité

fV

l <p (x) dx

mais l'application de cette règle générale est souvent malaisée et il ne sera pas inutile de donner des règles particulières qui, dans des cas assez étendus, permettent de trancher la question.

Supposons que la fonction © (x) puisse se mettre sous la forme f (x) <|i (x), f(x) étant une fonction bornée et intégrable dans l'intervalle (a0 a) et ty (x) étant une fonction qui devienne infinie aux environs de a, mais qui, quel que soit le nombre £ intérieur h l'intervalle (a0, a), soit toujours dans l'intervalle (a0, £). bornée et intégrable, et de plus ne soit jamais négative dans ce même intervalle, ou jamais positive : je supposerai dans ce qui suit qu'elle ne soit jamais négative ; on ramènerait l'autre cas à celui là, en remplaçant <p (x) par — <p (x).

L'intégrale J <| (se) dx considérée comme une fonction de £ est

alors une fonction non-décroissante dans tout intervalle contenu dans (a0, a); elle peut, lorsque S tend vers a, tendre vers une limite ou vers -4- oo .

En supposant d'abord qu'elle tende vers une limite, je vais montrer qu'il en est de même de l'intégrale

9 (x) dx.

Supposons en effet a0 < £ -< |' <C a, la fonction /(a?) il» (se), produit de deux fonctions bornées et intégrables dans l'intervalle (S, ç), est elle-même bornée et intégrable dans ce même intervalle et le premier théorème de la moyenne fournit l'inégalité

f(x)-b(x)dx

<<A I 'h (x) dx,

en désignant par A un nombre positif que l'on peut prendre égal à ia borne supérieure de | f (x) | dans (a0, a), ou plus grand.

Mais, par hypothèse, l'intégrale qui figure dans le second membre peut être supposée aussi petite qu'on le veut, pourvu que q, c,' soient suffisamment voisins de a ; il en est de même du premier membre et la proposition est démontrée.

Le lecteur reconnaîtra sans peine que l'on a encore dans ce cas

m I 9 (ce) dx < I / (x) ty (x) dx < M j ty (x) dx,

en désignant par m et M les bornes inférieure et supérieure de la fonction f(x) dans l'intervalle (a0, a). Il est à peine utile de dire que cette dernière conclusion s'étend au cas où la fonction d (se) supposée toujours non négative, bornée et intégrable dans tout intervalle dontles bornes ao', a' vérifient les conditions a0<^a0'<C a! <ja, deviendrait infinie aux environs de a0 au lieu de le devenir aux environs de a, ou encore deviendrait infinie aux environs de a0 et de a,

pourvu que l'intégrale I <p (se) dx ait un sens.

J Un