CHAPITRE XII

DERIVEES ET ÎXTECUULES

(D) ; désignons par (D') le domaine obtenu en supprimant de (D) les points intérieurs à (y) ; la frontière (H') de (D') se compose de la frontière (H) de (D) et du cercle (y) ; il est clair que la fonction

-J admet une dérivée

f>(Z)(z-x)-f(z) (z — xy

en tout point de (D) ; l'intégrale

r f(*)dz

est donc nulle ; cela revient à dire que l'on a

r fj&h = r ,

Jtl)Z~X J(H)

f(z)dz

l'intégrale du premier membre étant relative au cercle (y) décrit dans le sens direct ; on a d'ailleurs

dz

m -/(*) dz.

La première intégrale qui figure dans le second membre est égale à 2 ni fix) (n° 387) ; quant à la deuxième, sa valeur absolue peut être supposée aussi petite qu'on le voudra, à condition de prendre le rayon (r) assez petit ; ayant, en effet, d'abord choisi un nombre positif a, on lui fera correspondre un nombre positif v! moindre que la distance du point x à la frontière (H) et tel que l'on ait

fjz)^m r

sous la condition \ z — x \ <C a', et l'on supposera r inférieur à a! ; on aura alors

o-H/WI

et, par suite (n° 384)

or, le second membre peut être supposé aussi petit qu'on le veut ; la seconde intégrale du second membre de l'égalité (3) est donc nulle et l'on a finalement

f-^dz = **ifW>

d'où résulte immédiatement l'égalité (i).

Cette égalité constitue un très puissant instrument de démonstration ; on va l'utiliser pour établir d'importants développements en série.

396. — Considérons deux cercles concentriques (c) et (C) dont le centre commun est le point a, dont les rayons sont r et R (R >> r). Désignons par (D) le domaine, ensemble des points qui appartiennent à l'un ou l'autre des cercles ou qui sont intérieurs au plus grand, extérieurs au plus petit. Soit f(z) une fonction admettant une dérivée en chaque point de ce domaine ; soit enfin x un point intérieur à ce domaine. On aura, par le théorème du numéro précédent,

m = ± r m& l cm**

2mj{C)z-x 2irJ{c)z-x

les deux cercles étant décrits dans le sens direct.

Dans ce qui suit, le point x sera regardé comme fixe. Puisque ce point est intérieur au cercle (C), extérieur au cercle (c), la distance \z — a [ du point z au centre a est supérieure ou inférieure à la distance \x — a\ suivant que le point z est situé sur le grand cercle ou sur le petit.

On pourra écrire, suivant qu'on est dans un cas ou l'autre,

les séries qui figurent dans les seconds membres, et dont les termes sont des fonctions de r, sont absolument et uniformément convergentes, la première sur le cercle (C), la seconde sur le