CHAPITRE XII. DÉRIVÉES ET INTÉGRALES

cercle (c) ; il en est de même des séries obtenues en multipliant chaque terme par/(r) ; on peut donc appliquer la règle du n° 390 relative à l'intégration, et écrire, en vertu de la formule (i)

Ainsi, sous les conditions énoncées, la fonction f[x) est la somme de deux séries procédant l'une suivant les puissances entières et positives de x — a, l'autre suivant les puissances entières et positives de .

397. — Supposons, en conservant les mêmes notations, que la fonction f(z) admette une dérivée en tout point intérieur au cercle (G) ou situé sur ce cercle ; la même démonstration, où il n'y a plus lieu de tenir compte du cercle (c), montre que l'on a

y "vœ*— ° 2ik j(c)(z.-aY

| {x-g)n Ç f{z)dz

'2lTZ Jc(: — a)n+l

c'est-à-dire que la fonction f(x) est développable en série entière en x — a, en d'autres termes qu'elle est régulière au point a ; la série est convergente sous la condition \x — - a\ <R.

Au surplus, le développement en série auquel on vient de parvenir peut aussi bien se déduire de la formule (2) du précédent numéro en remarquant que, dans le cas actuel, toutes les intégrales

f f(z)dz, f (z-a)f(z)dz, f [z-aff{z)dz, ...

sont nulles.

La fonction f(x) étant régulière au point a admet en ce point des dérivées de tous les ordres, et l'on a

/(*) = /(«) + (* - a)lr + (* - «K^ + - :

puis, parce qu'une fonction ne peut avoir qu'un développement suivant les puissances de x — a,

398. — Considérons maintenant une fonction f(z) dont on sait qu'elle admet une dérivée en tout point du continuum (r). Si a est un point quelconque du continuum, on pourra prendre pour le cercle (G) n'importe quel cercle de centre a qui soit intérieur au continuum, c'est-à-dire dont le rayon soit moindre que la distance du point a à la frontière : la fonction f(x) est donc régulière en a et le rayon de convergence de la série entière en x — a qui représente cette fonction est au moins égal à la distance du point a à la frontière. La série est convergente dans tout le plan, lorsque le continuum T comprend tout le plan. La fonction /(z) est alors entière (transcendante ou non).

Si l'on regarde le second membre de l'égalité (i) du numéro précédent comme un élément de fonction, n°360); sil'on prolonge cette fonction le long d'un chemin qui soit intérieur à (r), on n'obtiendra jamais autre chose que la fonction f(z) elle-même.

La fonction f[x) étant régulière en a, ce nombre a, s'il est une racine def(x'), ne peut être qu'une racine d'un ordre déterminé. Les dérivées de la fonction ne peuvent être toutes nulles en ce point, à moins que la fonction ne se réduise à une constante.

L'ensemble des racines de la fonction f(x) qui appartiennent à (r) peut être fini ou infini ; mais s'il est infini, ses points d'accumulation appartiennent à la frontière de (r), non à (r) ; dans un ensemble clos contenu dans (r), il ne peut y avoir qu'un nombre

fini de racines àef(x), un nombre fini depùles delà fonction jtzx*

En un point a de (r) où f(x) ne s'annule pas, la fonction >>— ^

est régulière ; le rayon du cercle de convergence de la série en x — a qui représente cette fonction est au moins égal au plus petit des nombres qui mesurent les distances du point a à là frontière de (r) et aux racines àe f(x) ; il est au plus égal à la distance du point a à la racine de f(x) qui est la plus voisine de a,

car, pour cette racine, la fonction -.. - -> n'est pas régulière.