CHAPITRE XII. DÉRIVÉES ET INTÉGRALES

Si la fonction g (as) est aussi régulière en tout point de (r , les mêmes conclusions s'appliquent évidemment à la fonction jj— ,

lorsqu'il n'y a pas de racines communes à g (as) et à / as) ; dans le cas où il y a des racines communes, les modifications à apporter sont évidentes.

399. — Soit (A) un domaine simple et (r) le continuum intérieur à ce domaine ; soit f(z) une fonction admettant une dérivée en tout point de (A), et, par conséquent, régulière en tout point de (r) ; l'intégrale

f(z)dz,

où a et as sont des points de A , dont le premier est fixe, et dans laquelle le chemin d'intégration appartient tout entier à (A) est une fonction déterminée de as, régulière en tout point de (r).

Il faut d'abord montrer que la valeur de l'intégrale ne dépend pas du chemin d'intégration, pourvu que ce chemin, comme on le supposera toujours dans ce qui suit, appartienne à (A).

Si l'on considère deux chemins allant de a à as, qui soient des courbes simples et qui n'aient pas de points communs autres que a et as, l'ensemble de ces deux chemins parcourus, l'un de a à as, l'autre de as à a constitue une courbe fermée simple ; l'intégrale

if(z)dz, prise le long de cette courbe est nulle; il en résulte

immédiatement que les deux intégrales prises respectivement le long des deux chemins, de a à as, sont égales.

Si les chemins d'intégration n'ont qu'un nombre fini de points communs, si même ils ont des parties communes, mais en nombre fini, le lecteur ne peut manquer de reconnaître, en décomposant les chemins d'intégration en parties qui vont d'un point commun à un autre, que les intégrales sont encore égales.

Afin de supprimer les difficultés qui subsistent, je supposerai pour définir d'une façon précise la fonction

F(*)= fXf(z)dz,

que le chemin d'intégration est une ligne brisée simple située tout entière dans (T), sauf peut-être les points a et as, s'ils appartenaient à la frontière (!). Deux pareilles lignes brisées ne peuvent avoir qu 'un nombre fini de points communs ou de parties communes, en sorte que les intégrales prises le long de ces deux lignes brisées sont certainement égales et que la fonction F (as) est bien déterminée dans le domaine (A) par le caractère particulier que l'on a imposé au chemin d'intégration. Que cette fonction admette une dérivée en tout point de (A), c'est ce que l'on voit aisément en raisonnant comme au n° 386 et la proposition établie en ce même

numéro montre bien que l'intégrale / f(z) dz est bien égale

à F (as), quel que soit le chemin d'intégration.

Si la fonction ® (z) admet une dérivée o' (z) en tout point du domaine (A) et ne s'annule en aucun point de ce domaine, on peut évidemment appliquer le théorème qu'on vient d'établir à la fonction

la fonction

sera déterminée en tout point de (A) et régulière en tout point

f(z) de (Ij. Elle est identique à la fonction log S{ , supposée nulle au

point a et définie ensuite par continuité ou prolongement le long d'une courbe allant de a à z et ne sortant pas de (A). Cette fonc-

tion log*7,. M- sera régulière en tout point du plan si f(z) est une

fonction partout régulière et qui ne s'annule jamais ; elle sera alors une fonction entière g (r) ; la fonction f(z) sera elle-même de la forme

Cerf») ;

(') On supposera, dans ce cas, que ces points peuvent être reliés à n'importe quel point de (V) par une ligne brisée. Pour les points de la frontière, en nombre limité, qui ne rempliraient pas cette condition, le théorème, une fois démontré en général, résulte sans peine de la continuité.