CHAPITRE XII. DERIVEES ET INTEGRALES

telle est donc, en désignant par C une constante et par g(z) une fonction entière, transcendante ou non, la forme de toute fonction entière f(z) qui ne s'annule pour aucune valeur de z.

400. — Revenons à la proposition générale du nn 396 et considérons maintenant une fonction f(z) dont on sache qu'elle à une dérivée en tout point appartenant au cercle (G), sauf peut-être au centre a de ce cercle; l'égalité 2 du n° 396 subsistera en prenant pour le cercle (c) un cercle de rayon aussi petit qu'on voudra, intérieur au cercle (C) ; les intégrales

f(z)dz, f(z)(z-a)dz,...

sont d'ailleurs indépendantes du rayon r du cercle (c). Considérons en effet les deux cercles, (c), (c'), de rayons r, r' et supposons r >> r' ; les fonctions f(z),f(z) (z — a),... admettent des dérivées en tous points du domaine doublement connexe dont la frontière est formée des deux cercles c , c' ; les intégrales

jf{z)dz, f /(;)(;- a) d:,...,

prises le long de la frontière parcourue dans le sens direct sont donc nulles (n° 394) ; cela revient à dire qu'une quelconque de ces intégrales garde la même valeur, qu'on la prenne le long du cercle (c), ou du cercle (c'), les deux cercles étant parcourus dans le sens direct.

D'après cela la fonction f(x) est la somme de deux séries; l'une, que l'on peut représenter par P (x ; a), est entière en x — a et convergente sous la condition ] x — a | <C R, l'autre de la forme

est convergente quelque petit que soit x — a, en valeur absolue, pourvu qu'il ne soit pas nul ; en d'autres termes la fonction

4oO ENTROBUCTION' A LA THEORIE DES FONCTIONS

est une fonction entière en r, transcendante ou non : on a ainsi

Ces deux séries P {x ; a), G ( -^— 1 sont uniformément convergentes

dans tout ensemble parfait contenu dans le continu um défini par les conditions

Dans le cas où la fonction G(z) est identiquement nulle, la fonction/^), si on lui attribue la valeur P(a ; a) au point a, est régulière en tout point intérieur au cercle (G), même au point a. Lorsque la fonction G (z) se réduit à un polynôme en z

kit -+- A2z2 -+- ... + A„r",

le point a est un pôle de multiplicité n de la fonction /(a?). Enfin, quand la fonction G (z) est une fonction transcendante, le point a prend le nom de point singulier essentiel.

Ainsi un pôle ou un point singulier essentiel a d'une fonction f(x) est caractérisé par l'existence d'un polynôme ou d'une fonction transcendante entière G(z), s'annulant pour z = o, et telle que la fonction

tende vers une limite quand x s'approebe de a indéfiniment et soit un fonction régulière au point a quand on lui attribue en ce point sa valeur limite.

Le nombre A, coefficient de dans G ( ■ ) ioue un rôle

x — a \x — al J

particulièrement important : on lui a donné le nom de résidu relatif au pôle ou au point essentiel a. Son importance apparaît tout de suite en observant que la fonction primitive def(x), dans le continuum défini par les inégalités o < ] r — n | <C R, est la somme d'une constante arbitraire, de la série entière en x — a, obtenue en intégrant terme à terme P (x, a , et de la série

Aj log(.r — a) ' - — ... — , r,J-" r— v — ... ;

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