CHAPITRE Xll. DERIVEES ET INTEGRALES [\Ôl
l'intégration introduit donc un ternie transcendant et un seul, Ai log(x — a), dont le coefficient est précisément Ai ; ce terme a d'ailleurs besoin d'être défini d'une fonction précise pour que la fonction primitive le soit elle-même ; les diverses déterminations de cette fonction diffèrent d'un multiple entier de 2Ài~î. Si le résidu Ai est nul, la fonction primitive est déterminée dans tout le continuum, dès qu'on se donne sa valeur en un point. L'intégrale
fm
prise le long d'une courbe fermée simple, située dans le continuum, contenant le point a à son intérieur, et parcourue dans le sens direct est égal à 2 A^?'.
401. — Considérons une fonction f(x) définie dans un continuum (T , sauf en un certain nombre fini de points ai, a*,..., ap et régulière en tout point de (T), sauf peut-être en ces points.
Si de l'un quelconque de ces points, de ai, par exemple on décrit un cercle assez petit pour être intérieur à (T) et pour laisser en dehors de lui les points a*,..., a^, le précédent théorème s'appliquera à ce cercle, d'où l'on conclut que le point tt; est ou un point régulier, (auquel cas il faut attribuer à f(x , pour ce point, sa valeur limite) ou un pôle, ou un point singulier essentiel; on peut évidemment écarter la première hypothèse. Les points «1, a2,..., aP étant des pôles ou des points singuliers essentiels, il leur correspond respectivement des fonctions entières polynômes ou fonctions transcendantes, </i(z), g-i(~\..., telles que les différences
soient respectivement régulières aux points ai, ai,...; d'ailleurs la
fonction gi ( ), par exemple, est régulière partout sauf au
point «i ; on conclut de là bien aisément que la fonction
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est régulière en tout point de T ; en d'autres termes la fonction f(x) est de la forme
\X Cly / \X ^2/ \^ ~" "
en désignant par ©(a?) une fonction régulière en tout point de (T). Réciproquement toute fonction de cette forme est régulière en tout point de (T), sauf aux points olf a>,..,, at, (J).
Si (T) est le continuum intérieur à une courbe fermée simple (F) et si l'on suppose, bien entendu, que la fonction f(x) ait une dérivée en tout point du domaine (F) -+- (Y), sauf aux points ai, a-i,..., aP, l'intégrale I fx dx, prise le long de F), clans le sens direct, est égale au produit par i~à de la somme des résidus relatifs aux points ci\, a-i,..., av : cela résulte évidemment de la forme donnée kf(x), de ce que l'intégrale I o\x) dx est nulle et de ce que l'intégrale
par exemple, est égale au produit de 2Tîi par le coefficient de la première puissance de z dans gi (z).
402. — On a montré au n° 349 comment, sous certaines conditions, une série de la forme
«i (ce) -+- u.2(x) -h .... + un(x) -h ...
dont les termes sont eux-mêmes des séries entières en x, pouvait se mettre sous forme d'une série entière en x, et l'on a annoncé que cette proposition, ainsi que la proposition analogue relative à un produit infini étaient susceptibles d'être généralisées.
La proposition que j'ai en vue est la suivante.
Soit (À) un domaine simple et X le continuum intérieur; si les fonctions ujx), u2(x),..., un(x),... admettent des dérivées en tout point du domaine (À) et si, dans ce domaine, la série
(u) "i (x) + Uo(x) ■+- ... H- u„(x) -h ...
(*) Le lecteur rapprochera cette proposition de celles qui font l'objei du n» 374.
