CHAPITRE XII. DÉRIVÉES ET INTEGRALES
est uniformément convergente, la somme f(x) de cette série est une fonction régulière en tout point de (T ; ses dérivées successives sont les sommes respectives des séries obtenues en prenant les dérivées première, seconde,... des termes de la série (il).
En désignant par x0 le point du contlnuum (T) pour lequel on veut prouver la proposition et en posant x = x0 -+- z, on remplacera le domaine (À) et le continuum (T ) par le domaine (À') et le contlnuum (Y1) ; ce continuum contiendra le point z = o, pour lequel on aura à faire la démonstration.
On peut, tout de suite, supposer que le continuum (T) contient le point ; = o et que c'est pour ce point qu'on fait la démonstration ; les fonctions uY(z), iu(z), doivent alors être régulières en ce point; je supposerai qu'on a en général,
Hn(z) = «o.» H- BilB2 + ••• -+■ up,»:P ■+■
toutes ces séries, d'après le n° 397, sont absolument convergentes à l'intérieur et sur la circonférence d'un cercle décrit du point o comme centre, situé tout entier à l'intérieur de (T), et d'ailleurs quelconque; dans le même domaine (intérieur et circonférence du cercle;, la série
Ui(z) -+- Ui(z) H- ... + ua(z) -h .. ,
dont la somme est /(z), est uniformément convergente; si l'on désigne maintenant par x un point fixe intérieur au cercle, la série
"i (z) + "j (z) + ., + u»(z) + mmt
dont la somme est -J , est uniformément convergente sur la
circonférence du cercle; on a donc (n° 390), en supposant les intégrales prises le long de cette circonférence,
f.f(z)dz = . fat(z)dz fati^z f^
z)dz
la série qui constitue le second membre de cette égalité est égale, terme à terme (n° 395), à la série
2 ficuj (.t) 4- 2mai(x) -+- ... -+- 2Ï~a„(x) -h ...
Tannebt II. — IntrO'luetion à la Théorie îles fondions 28
dont la somme est i inf(x) ; on a donc finalement
f(x) = ~ f I^Ldz;
J x J 2 VK J z — X
On a, au n° 395, établi une égalité de même forme en supposant que la fonction f(z) admettait des dérivées en tout point du domaine simple que bornait la courbe le long de laquelle on prenait l'intégrale: l'égalité (1), établie en partant de la définition de la fonction f(x), va nous permettre maintenant, en renversant la démonstration du n° 395, de prouver que la fonction f[x) est régulière au point o ; on a en effet, pour tout point de la circonférence de cercle
Z X Z Z* Z"~rl
et le second membre de cette nouvelle égalité est encore une série uniformément convergente sur la circonférence du cercle, où l'on a I z I > x ; on a donc (n° 390)
±rm±=*rm^-'.riL
Z .1 VK J Z1
, dz
en supposant toujours que les intégrales soient prises le long de la circonférence du cercle ; mais le premier membre, d'après l'égalité (1), est égal a f(x) : on voit ainsi que la fonction f(x) est régulière au point o et, de plus, qu'elle est développable en une série entière en x, convergente à l'intérieur de tout cercle décrit du point o comme centre et intérieur au continuum (Y). La fonction f(x) est donc bien régulière en tout point de ce continuum. La valeur de sa dérivée nième au point o est égale à
rtt+l
dz
en vertu de l'égalité (2) ou du n° 397, l'intégrale étant prise le long de la circonférence d'un cercle quelconque, intérieur à (F) et décrit
