CHAPITRE XII. 1>ÉK1VÉES ET INTEGRALES
du point o comme centre ; or sur cette circonférence, la série
«i {z) , «2 (z) , ,ap (2)
zn+i ^ ^+1 -r- ••• -r zTl+i ~r~ ...
dont la somme est -^çi , est uniformément convergente ; on a donc (n° 390)
f IAZ) dz Ç UM âz . fuM dz + + f a^- dz +
les intégrales étant prises le long de la circonférence ; on a d'ailleurs (n° 397)
"p (z) dz
et par suite
l" I ,Si dz = "»■' + "".a + ... -h n-p H- ... ;
il est prouvé par là que la série qui figure au second membre est convergente et que sa somme est le coefficient de xn dans lé développement de y (as). Tout ce que l'on avait annoncé est établi.
Le théorème qui précède est dû à Weierstrass; on voit qu'il est beaucoup plus général que la proposition à peu près obvie du du n° 349('\
Je ferai maintenant sur le mode de convergence de la série (a), une hypothèse un peu plus restrictive, qui implique d'ailleurs (n° 183) la convergence absolue et uniforme de cette série dans le domaine (A).
En désignant par
a. -f- a2 -f- ... -+- On -h ...
une série convergente dont tous les termes sont des nombres positifs, je supposerai qu'on ait | un(x) | < an, pour toutes les valeurs
(*) La démonstration de Weierstrass, qui est fort intéressante, est reproduite dans l'introduction des Eléments de la Théorie des fonctions elliptiques de MM. Tannery et Molk, t. I, p. 55. Celle qui précède est due à M. Painlevé.
de n, et pour chaque point x du domaine (A) ('). Je suppose toujours que les fonctions un(x) admettent des dérivées en chacun de ces points.
Le produit infini
[i + ux{x)] [1 H- u.2(x)] ... [i + u„(sc)]...
est alors une fonction de x régulière en tout point de (F).
Il suffira, comme tout à l'heure de supposer que le point o soit intérieur à T) et de faire la démonstration pour ce point. Considérons encore un cercle, décrit du point o comme centre et intérieur à (T) ; et désignons par (D) l'ensemble des points qui appartiennent à ce cercle.
A partir d'une valeur suffisamment grande de n. on peut, en désignant par a un nombre positif plus petit que i, supposer J un (x) | <C a et cela pour n'importe quel point x du domaine (D) ; comme on peut évidemment négliger, dans la démonstration, les premiers facteurs du produit infini, rien n'empêche de supposer que l'égalité précédente ait lieu pour toutes les valeurs de n ; le logarithme principal de chaque facteur est alors déterminé sans ambiguïté pour tout pointa? de (D). De la convergence normale de la série (u) dans le domaine (D), résulte immédiatement la convergence uniforme, dans le même domaine, de la série
(3) lg[i -h «i.(œ)] + lg[i -H Mx)] + ... + lg'[i -4- u„(x)] + ...
qui est donc une fonction régulière de x au point o; si on désigne par © (x) cette fonction, la fonction ef{x) sera aussi régulière au même point : or elle est manifestement égale au produit infini. On obtient la dérivée de o (x) en prenant les dérivées des termes de la série (3) ; on retrouve ainsi la règle du n° 349 pour obtenir la dérivée logarithmique d'un produit infini.
(') M. Baire, dans ses excellentes Leçons sur les théories générales de l'Analyse (Paris, Gauthier-Villars), dit alors que la série (h) converge normalement dans le domaine (A). Ce mode de convergence, sur lequel Weierstrass a appelé l'attention, mérite assurément un nom, tant il est simple, naturel et fréquent. C'est à l'exemple de M. Baire que je me borne à ce cas, pour ce qui est des produits infinis.
