I. — LE THÉORÈME DE M. JORDVN DA.NS LE PLA.N

1. — Je commencerai par revenir un instant sur la démonstration du théorème de M. Jordan dans le cas du plan et je m'effor-

(') Surtout depuis le Traité d'Analyse de M. Picard (T. I, p. 1 23 ; T. II, p. iq3).

cerai, pour l'une des parties de ce théorème, d'aller un peu plus loin qu'on n'a fait dans l'introduction de la notion d'ordre. Une ligne plane (') (C) étant définie par les deux équations

où les seconds membres sont des fonctions continues de t dans l'intervalle [t0, /t) ; cette courbe étant fermée, c'est-à-dire telle que l'on ait

(2) x(t0)=x(li), y(l0)=y(ti);

et sans point double, c'est-à-dire que les équations en V , t"

n'aient pas d'autre solution, où t' soit différent de t", que t' = t0, f = tl ou t' = U, t" = t0;

le théorème de M. Jordan consiste en ce que :

i° la courbe (G) détermine dans le plan au moins deux régions distinctes ;

20 la courbe (G) ne détermine que deux régions distinctes.

Je m'occuperai seulement de la première de ces deux affirmations (2) .

2. — Je rappelle que l'ordre d'un point P, non situé sur la courbe (C), par rapport à cette courbe se définit au moyen de la variation continue de l'argument du vecteur PM, quand le point M décrit la courbe (G).

Cet ordre est nul quand on peut mener par le point P une demi-droite qui n'a aucun point commun avec (C).

Il est égal à ± 1 quand on peut mener par le point P une demidroite qui a un point commun avec (C) et un seul, et telle que si on désigne par /' la valeur de / qui correspond à ce point, les points de (C) qui correspondent à des valeurs de / un peu plus petites que t et les points de (G) qui correspondent à des valeurs de / un

(') C'est ce qu'on a appelé dans le texte un lien fermé simple (nn 290 *. (') lîlle a été établie dans le texte sous la condition qu'il existe un vecteur AH que traverse la courbe (C) (n° 296;.

.NOTE SUR QUELQUES APPLICATIONS DE L1ND1CE DE KRONECKER /(Of)

peu plus grandes que t' soient de côtés différents par rapport à la demi-droite.

3. — Cela posé, nous allons constater l'existence d'un point dont l'ordre est o et celle d'un point dont l'ordre est ± i.

Soit d'abord y = }', une parallèle à Taxe des x ayant des points communs avec la courbe. Soit, parmi eux, Afasi, )'t) celui qui a la plus petite abscisse (']. Si l'on désigne par x[ une quantité inférieure à £C[, le point A! [x[, ji) est d'ordre o, puisque la demi-droite qui part de ce point dans la direction opposée à A/A n'a aucun point commun avec (G).

4. — Soit maintenant | une valeur de x comprise, au sens strict (c'est-à-dire égalité exclue) entre xt et la valeur maxima de x sur (G), de sorte que la courbe (G) coupe la droite x=ç en deux points au moins; soient M, N les deux points d'intersection extrêmes, c'est-à-dire qui ont respectivement la plus petite et la plus grande ordonnée (2), ou encore, les plus rapprochés de A ; j'entends par là les points pour lesquels les valeurs de t sont les plus voisines intérieurement et supérieurement de celle qui correspond à A (3). Les points M, N divisent (G) en deux arcs. J'appellerai le premier d'entre eux, celui qui contient le point A. Dans l'une comme dans l'autre des définitions que je viens d'indiquer pour M et N, ce premier arc ne contient aucun point situé sur le prolongement du segment de droite MN, soit que la courbe entière n'en contienne aucun (ire définition), soit que le premier arc MN n'ait aucun point commun avec la droite x — ~\ en dehors de M, N (2rae définition).

Menons par A une droite ka qui coupe la droite x = S en un point a situé entre M et N. Cette droite ka peut rencontrer le premier arc MN en un seul point (le point A) ou en plusieurs ; soit B celui de ces points qui a la plus grande abscisse (4).

(*) L'ensemble des valeurs de t (si elles sont en nombre infini) qui vérifient l'équation y(t) = y\ est clos; il en est donc de même des valeurs correspondantes de x ; ce dernier ensemble contient donc son élément maximum et son élément minimum.

C'£) Voir la note précédente.

(3) Ceci comporte une modification évidente si le point qui correspond à t = t0 ou t = ii est entre A et M ou entre À et N.

f') Voir la note (t)..

44û INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

Soit B' un point de la droite Aa ayant une abscisse plus grande que B, tel cependant qu'entre B et B' il n'y ait pas de point du second arc MN (ce qui est possible ('), sans quoi B serait lui-même un point du second arc, contrairement à l'hypothèse).

Le point B' est d'ordre ± 1 .

Pour le voir, joignons M à N par un chemin composé de deux segments rectilignes MP, NQ empruntés respectivement aux deux prolongements de MN et tels que aV soit égal à aQ, P et Q étant réunis par un demi-cercle de centre a, situé à droite de MN, c'està-dire du côté où n'est pas A, et de rayon assez grand pour n'avoir aucun point commun avec le premier arc(2). Ce nouveau chemin forme avec le premier arc MN une ligne fermée (Ci) et avec le second arc MN une ligne fermée (C2) ; convenons de choisir comme sens de parcours sur (C) le sens qui correspond aux t croissants, sur (Ci) et sur (C2) un sens tel que le.s parties communes avec (C) soient parcourues dans le même sens qu'elles le sont sur (C). Dans ces conditions, le chemin auxiliaire MPQN est parcouru en sens contraires sur (Ci) et sur (C2).

On aura alors, en appelant Q(G)(B'), 0(C])(B'), Q(C2) (B') les ordres de B' par rapport aux courbes fermées (C), (Ci), (Ca)

Û(C)(B')=Û(Ci)(B') + Û(Ci)(B').

puisque les variations d'argument sur MPQN se détruisent. Or 0(C2) (A.) étant nul [pour la même raison que Û(C)(A')], il en est de même de Û(C,) (B') (n° 295), puisque l'on peut joindre A à B' par un chemin qui n'ait aucun point commun avec (C2), à savoir la portion AB du premier arc, suivie du segment de droite BB'.

D'autre part Q(C,) (B') est égal à ± 1, puisque la demi-droite qui part du point B' et qui va dans la direction des x croissants rencontre (C2) en un seul point situé sur le demi-cercle, et cela dans les conditions qui ont été précisées plus haut.

Notre conclusion est donc démontrée.

(1) Voir encore la noie (') de la page précédente.

(2) Dans le second mode de définition des points M, N, le chemin MPQN peut être remplacé par le segment de droite MIS', le point IV étant entre H et a.

>OTE SLR QUELQUES APPLICATIONS DE L'iNDICE DE KRONECKER 44 1