II. — GÉNliR-VLITÉS SUR LES VARIÉTÉS ET LES SURFACES

5. — Sans examiner si on peut, par une méthode analogue, démontrer le théorème de M. Jordan dans le cas de plus de deux dimensions, nous allons, maintenant, supposer ce théorème démontré et cela en précisant même l'énoncé d'une manière qui sera indiquée plus loin.

Mais nous avons à définir ce que nous entendrons par surfaces dans l'espace à n dimensions.

Pour cela, nous définirons d'abord le tétraédroïde à m dimensions.

Nous appellerons ainsi le lien (c'est-à-dire, conformément à la définition classique de la géométrie élémentaire, l'ensemble) des points (oîi,... x,n) de cet espace qui vérifient les inégalités

(, Xt > O, X-, > o,... xm > o (œi+ii+n. H- xm < i ;

— ou, par extension, tout ensemble se déduisant du premier par une substitution linéaire, non nécessairement homogène (c'est-àdire avec l'intervention possible de termes constants), à déterminant non nul.

6. - — En remplaçant une, et une seule, des m -+- i inégalités (3) (ou s'il y a lieu, de celles qui leur correspondent après substitution par une égalité, à laquelle on continue à adjoindre les m inégalités restantes sans les modifier, on a une des m -h i faces du tétraédroïde. En remplaçant de même deux (et deux seulement) des inégalités en question par des égalités, on a une arête primaire (laquelle est, par sa définition, commune à deux faces). On aura de même, en écrivant trois égalités et m — 2 inégalités, une arête secondaire ; etc.

Enfin un point commun à m faces est un sommet. Si on désigne par

kh^ INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

les m -+- i sommets, on aura, pour le tétraédroïde (3),

7. — Un point quelconque d'un tétraédroïde peut être représenté par les formules

t Wr) -+- t Pli) i i / , «w-p-« (6) *,=>' + '* t"" + («=.i,a,....,.n)

où tl} t.2, ..., /,„+] sont m -+- i nombres positifs. C'est ce qu'on voit immédiatement pour le tétraédroïde (3) et qu'on étend aux autres tétraédroïdes en remarquant que la substitution linéaire ne change pas les relations. (6).

8. — m -+- i points quelconques, dont les coordonnées seront données par les formules (4), peuvent d'ailleurs, comme on s'en convainc aisément, être considérés comme les sommets d'un tétraédroïde, pourvu que le déterminant A formé en bordant le tableau (4) avec une colonne d'unités soit différent de zéro : ce tétraédroïde pourra être considéré comme représenté par les formules (6), lesquelles s'écrivent encore

} (, + i2 + ... + tm+i = i.

ti, i2, ..., tm+l seront dits les coordonnées barycentrirjaes (absolues dans le cas des équations (6'), homoijenes dans le cas (6)) du point (x\, ..., xm) par rapport au tétraédroïde.

m des coordonnées baiycen triques absolues peuvent être considérées comme définissant un point. Si on considère, à leur tour, ces m quantités /,, ..., tm comme des coordonnées cartésiennes, ïe point qui a ces coordonnées décrit le tétraédroïde 3 quand le point (as,, ..., x,„) décrit le tétraédroïde donné.

Si le déterminant désigné tout à l'heure par A est nul, nous dirons que les formules (6) ou (6') définissent un tétraédroïde (h'>/rnérê.

NOTE SUR QUELQUES APPLICATIONS DE l'iNDICE DE KRONECKËR 443