CHAPITRE VII. INTÉGRALES DEFINIES

Supposons maintenant que, la fonction ty(x) satisfaisant toujours aux mêmes conditions, l'intégrale

! ^ (x) dx

grandisse indéfiniment quand | tend vers a par valeurs croissantes ; s'il arrive que, a'0 désignant un nombre fixe quelconque compris entre a0 et a et distinct de ce dernier nombre, la fonction f(x) dans l'intervalle (a0, a) conserve le même signe et reste supérieure, en valeur absolue, à un nombre positif B, le premier théorème de la moyenne fournira encore l'inégalité

| f(x) à (x) dx >ti t^b (x) dx

qui montre clairement que le premier membre, comme le second, grandit indéfiniment quand £ tend vers a par valeurs croissantes ; il en est de même de la valeur absolue de l'intégrale proposée

I o (x) dx .

On voit sans peine que, dans ce cas, le rapport

I © (ar) dx

<b (x) dx

finit par rester, lorsque £ tend vers a par valeurs croissantes, compris entre deux bornes fixes, dont aucune n'est nulle ; c'est ce que l'on exprime en disant que le numérateur devient infini comme le dénominateur ; cette locution prendra un sens plus précis si f(x) tend vers une limite, fia — o), différente de zéro, quand a; tend vers a par des valeurs croissantes ; le précédent rapport a aussi pour limite f(a — o). On voit en effet tout d'abord que, dans ce cas, le numérateur augmente indéfiniment par des valeurs positives ou négatives, suivant que la quantité/ a — o ; est positive ou négative. Soit maintenant a un nombre positif aussi petit

TannertII. — Introduction à la Théorie des fonctions 4

qu'on le voudra, on pourra lui faire correspondre un nombre a! << a tel que, sous les conditions

a' <i x <^ a, on ait

En désignant par s un nombre positif égal ou inférieur à a — a' et par 5 un nombre compris entre a — s et a, on aura, toujours en vertu du premier théorème de la moyenne,

I f(x) •h (x) dx

! <l (x) dx

d'ailleurs, une fois s fixé comme on vient de le dire, on pourra prendre i~ assez voisin de a pour que les deux rapports

o (x) dx ] (J/ (x) dx

cç (x) dx I (|; (x) C?X

soient, en valeur absolue, moindres que a, puisque leurs dénominateurs peuvent être supposés aussi grands qu'on le veut ; dès lors l'identité

I «p (x) dx

r\ ç\ ri

\ o(x) dx I <p (x) dx I <p (x) dx

t/ao J a — t Ja — z

\ <^(x) dx I ty (x) dx I ^ (s?) dx

4» (x) dx