Le tétraédroïde (3; peut être décomposé parles plans

en parties convexes et celles-ci peuvent être, à leur tour, décomposées en létraédroïdes (2) inférieurs dans toutes leurs dimensions

(') On peut aussi dire qu'un tel télraé'îroïde se déduira du tétraédroïde à m dimensions (3) en prenant pour les n variables j des fonctions linéaires des m variables x (m au moins de ces fonctions étant indépendantes^.

(2) Un polyèdre convexe de l'espace à m dimensions est l'ensemble des points de cet espace cpii vérifient un nombre quelconque d'inégalités du premier degré

d^ar, + a^x2 + .- + a£V*m + &'W > o (h = 1, 2, ...)

ces inégalités étant susceptibles d'être vérifiées simultanément au sens strict (c'est à- dire égalité exclue] cl telles que | a»f I- ,- ] x%< \ ', ..-.,. | x„, | soient, grâce

444 I.NTROuUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

a -, — par conséquent, aussi petits qu on veut en tous sens : cette

dernière propriété s'étend donc (par substitution linéaire) à un tétraédroïde quelconque.

11. — Cela posé, soient u,, ..., um m paramètres tels que le point qu'ils définissent et que nous appellerons point paramétrique, décrive un tétraédroïde à m dimensions. Soient xu x.lf ..., xn des fonctions continues, en nombre n >> m de.«l5 ..., um. Nous dirons que le point (xlf ..., x„) (qui sera le point proprement dit) décrit un élément m fois étendu dans l'espace En à n dimensions.

Soit £j un tel élément, correspondant à un tétraédroïde T, décrit par le point paramétrique (a,, ..., um). Soit s2 un élément analogue, correspondant à un second tétraédroïde T.2. Supposons que, par l'intermédiaire d'une face fx de T, et d'une face fi de T2, ces deux éléments soient liés de la manière suivante :

Les sommets de/j (ou ceux de/2) ayant été permutés au besoin d'une manière convenable, tout point paramétrique de fi donne la même position du point (a^, ..., x„) que le point de f2 qui (moyennant la permutation dont on vient de parler) a les mêmes coordonnées barycentriques (1).

à elles, forcément limités. Une face du polyèdre sera encore obtenue en remplaçant l'une de ces inégalités par l'égalité correspondante, pourvu que les inégalités restantes puissent encore, dans ces conditions, être vérifiées simultanément au sens strict.

La démonstration du théorème : toid polyèdre convexe de l'espace à m dimensions est décomposable en tétraédroïdes est aisément arithmétisable. On prendra un point intérieur 0("/|, ..., a,„) qu'on joindra à chaque point [x\, ..., x,„) de

la frontière S du polyèdre par un segment de droite I £,= ' *" ' I, 0<J t <^-\-x .

Lorsque (xt xm) décrira une face, le point x[ décrira une « pyramide à

m dimensions » ; et toutes ces pyramides, extérieures les unes aux autres, formeront par leur ensemble le polyèdre donné (grâce à ce fait que S est coupé en un point et un seul par une demi-droite quelconque issue de 0).

Le théorème étant supposé démontré pour toute valeur de m inférieure à celle qu'on considère, on pourra décomposer chaque face en tétraédroïdes à m — i dimensions : la pyramide correspondante sera, du même coup, décomposée en parties qui seront des tétraédroïdes (les coordonnées x'L pouvant s'exprirr.er alors aisément sous la forme (Ci)).

(') Plus généralement, on pourrait admettre entre les points de f\ et de f, une correspondance parfaite et continue quelconque, les points paramétriques qui fournissent le même point .t étant ceux qui se correspondent dans ces nouvelles conditions. On démontre que ce cas un peu plus général peut se ramener à celui qui est traité dans le texte.