INOTE SUR QUELQUES APPLICATIONS DE L'INDICE DE KUONECKER /J/J

Gonvenons, s'il en est ainsi, de regarder ces deux points paramétriques pris l'un sur/, l'autre sur f.2, et que nous appellerons points accouplés, comme identiques l'un à l'autre (quoique leurs coordonnées u soient, en général, différentes). Les faces fi, fi seront, par conséquent, elles-mêmes regardées comme n'en constituant qu'une. Les éléments £f, £2 seront alors dits contigus suivant la face commune unique qui correspond (dans l'espace E„) à /", et à/2.

Un troisième élément £3 pourra être contigu à £2 suivant une face correspondant à une face/^ de T2 : nous supposerons celle-ci différente de f.2 (le cas contraire étant écarté dans tout ce qui va suivre). L'arête primaire commune af.^Jl donnera une arête commune à £,, £2, £3, dont les points seront les mêmes lorsqu'on les déduira de l'un ou de l'autre des éléments considérés.

Plusieurs éléments peuvent de même avoir en commun une arête d'ordre supérieur (ou un sommet unique\ Mais il faut remarquer qu'un nombre quelconque d'éléments peuvent encore avoir en commun une même arête primaire.

12. — Considérons maintenant un nombre fini quelconque d'éléments m fois étendus de l'espace à n dimensions ayant entre eux des relations de contiguïté telles que nous venons de les définir, mais de manière cependant qu'une face quelconque de l'un d'entre eux ne lui soit commune qu'avec (au plus) un seul autre. Nous aurons ainsi une variété (finie) m fois étendue dans l'espace à n dimensions (]).

Deux points paramétriques accouplés de la face commune à deux éléments contigus ou, plus généralement, deux ou plusieurs points paramétriques accouplés d'une arête (d'ordre quelconque) commune à deux ou plusieurs éléments (ou, encore, un sommet commun à deux ou plusieurs éléments) seront, conformément à ce qui précède, considérés comme ne donnant qu'un point unique (a?n ..., xn) de notre variété. En toute autre circonstance où un même point (x{, ..., x„) de l'espace à n dimensions se trouvera

(') Les variétés ainsi définies sont celles que nous considérerons dans ce qui va suivre. La question de savoir si on peut donner à ce même mot des définitions plus générales est, bien entendu, entièrement réservée. Elle ne sera pas abordée ici.

plus d'une fois dans notre variété (soit qu'il corresponde à deux points paramétriques différents d'un même élément, ou à deux points paramétriques non accouplés d'éléments différents (*)) ce point sera dit double ou multiple, suivant qu'il figurera deux fois oum>2 fois (2).

13. — Une même variété peut d'ailleurs d'une infinité de manières se représenter sous la forme qui vient d'être indiquée. Nous ne considérerons pas, en effet, deux variétés V et V de l'espèce précédente comme distinctes s'il existe entre les points paramétriques qui engendrent V et ceux qui engendrent Y' une correspondance parfaite et continue telle que tout point paramétrique de V donne le même point (se,,, .... x„) que son correspondant de Y'. La continuité et la perfection dont nous venons de parler ne sont supposées avoir lieu que moyennant la convention faite précédemment de considérer comme identiques les points accouplés (3), la décomposition de V en éléments n'étant d'ailleurs nullement supposée correspondre à celle de V et le nombre même de ces éléments pouvant être différent.

(') Nous excluons en nous exprimant ainsi le cas où un élément serait contigu à lui-même (deux de ses faces étant accouplées l'une à l'autre). Si ce cas se présentait (ce qui n'est nullement impossible), on modifierait aisément notre rédaction de manière à en tenir compte. Mais on peut aussi l'écarter par une subdivision convenable (voir ci-dessous) de l'élément considéré, ainsi qu'on s'en assure sans difficulté.

(2) On pourrait avoir m = go .

(;i) Autrement dit, la continuité signifie ici que :

i° A un point paramétrique d'un élément £ et d'un seul de V correspond à un point appartenant à un élément z (et à un seul) de V, les valeurs des u relatives à l'un de ces points sont fonctions continues de celles qui sont relatives à l'autre ;

2° Si un point paramétrique P appartenant à un seul élément s de V correspond à un point P' commun à plusieurs éléments z'{, =', ..., e'p de V, et si on considère un second point Q de s tel que son correspondant Q appartienne à z'., par exemple (tout en pouvant être commun à z[ et à un ou plusieurs des autres éléments e.L ..., z'p), les valeurs des u qui correspondent à Q' dans z[ sont fonctions continues de celles qui correspondent à Q ;

3° On a des énoncés analogues pour le cas où un point commun à plusieurs éléments de V correspondrait à un point pris dans un seul élément de V, et pour le cas tout à fait général où un point commun à plusieurs éléments E|, — -,, de V correspondrait à un point commun à plusieurs élénu nN e'„ ..., *'■ deV.

-NOTE SUR QUELQUES APPLICATIONS DE L'iXDiCE DE KROKECKEll kk']

Si les deux variétés sont sans points multiples, il suffira pour cela que chaque point de W soit aussi un point de V et inversement.

En particulier, nous ne changeons pas une variété en subdivisant un ou plusieurs des tétraédroïdes qui correspondent à ses divers éléments en tétraédroïdes partiels, ainsi qu'il a été expliqué plus haut (n° 10).

14. — Ajoutons qu'on peut avoir à considérer deux variétés V et V m fois étendues entre les points paramétriques desquelles existe une correspondance de l'espèce mentionnée dans ce numéro, mais sans que les valeurs des a? soient les mêmes aux points correspondants, ni même que l'entier n soit le même pour V et pour V. Deux variétés de cette espèce sont dites homéomorphes et l'étude des propriétés qui leur sont communes constitue VAnalysis silus.

15. — Aux changements de représentation paramétrique dont nous venons d'indiquer la possibilité se rattache une hypothèse supplémentaire que l'on fait en général — et que nous ferons dans ce qui va suivre — sur les variétés V envisagées.

Quel que soit P pris sur \ , on admet que, parmi les diverses décompositions de V en éléments que l'on peut effectuer conformément à la conception précédente, il en existe au moins une dans laquelle P n'appartient qu'à un seul élément.

Cette hypothèse est distincte des précédentes : certaines variétés admissibles sans elles sont exclues par son intervention (1).

Ç) C'est, par exemple, ce qui arrive pour le volume du cône ayant pour base une couronne circulaire. Un tel volume est décomposable en parties ayant chacune une correspondance parfaite et continue avec un tétraèdre; mais le sommet du cône doit être commun à deux au moins de ces parties.

Soit encore le tore représenté par les équations

x = cos ^ (r -f- a cos cp) , y = sin à (r -f- a cos cp) , z = a sin cp,

où cp et <b sont considérés (mod. 2 k). Déduisons-en la variété trois fois étendue de l'espace à quatre dimensions

xl = t cos i|/ [r -f- a cos cp), cr2 — ' sin 4" ('" ~T" a cos p) 1 xi ==: 'a s'n '■? j a'4 == ' cos ?>

t variant de zéro à 1. Cette variété est également décomposable en éléments, mais le point Xi = x-i = 0*3 = X; = o appartient forcément à plusieurs d'entre eux.

/j<48 INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

16. — La variété V sera d'un seul tenant, si on peut passer d'un élément quelconque à un autre également quelconque par une chaîne d'éléments dont chacun est contigu au précédent suivant une face.

Elle est fermée si toute face est commune à deux éléments. Dans le cas contraire, l'ensemble des faces n'appartenant chacune qu'à un seul élément constitue la frontière S de V.

Cette frontière, qui est une variété m — i fois étendue peut n'être pas d'un seul tenant ; mais elle est nécessairement fermée, comme on s'en assure aisément (1).

17. — Dans tout ce qui précède, l'ordre dans lequel étaient rangées les coordonnées du point paramétrique dans chaque élément, — ou, ce qui revient au même, l'ordre dans lequel étaient rangés les sommets du tétraédroïde correspondant — restait indifférent.

Convenons maintenant de faire intervenir cet ordre, mais seulement dans la mesure suivante :

Nous partagerons les (m -+- 1) ! permutations auxquelles on arrive en rangeant de toutes les manières possibles les (m -+- i) sommets du tétraédroïde en deux classes suivant la méthode employée dans la théorie des déterminants, autrement dit, en mettant dans la même classe toutes celles qui sont telles que le passage des unes aux autres soit une permutation alternée.

Nous ne choisirons pas entre les permutations d'une même classe ; mais nous choisirons entre les deux classes et ce choix sera ce que nous appellerons orienter le tétraédroïde.

Nous ne diminuerons d'ailleurs pas la généralité en supposant que la classe choisie est la première (c'est-à-dire comprend l'ordre naturel) et c'est ce que nous admettrons dorénavant.

A une orientation déterminée du tétraédroïde T, correspond évidemment une orientation déterminée pour chaque face, qui sera dite en résulter : on l'obtient en rangeant les m sommets de

(*) Les éléments / de S étant des faces de V, les faces a de S sont des arêtes primaires de V. Si l'une de celles-ci n'appartient qu'à un seul élément de V, les deux faces qui comprennent a font partie de S et sont conliguës. Si elle est commune à une série d'éléments conligus les uns aux autres (et dont le dernier n'est pas contigu au premier, du moment que a est frontière', les deux faces extérieures des éléments extrêmes font partie de S et sont conliguës suivant a.

NOTE SUR QUELQUES APPLICATIONS DE l'iNDICE» DE KRO.NECKER /j^Q

cette face dans un ordre tel que, en les faisant précéder du sommet opposé, on ait, entre les [m -+- i) sommets de ï, une permutation de la première classe. Nous dirons que cette orientation est celle qui résulte, pour la face considérée, de celle du tétraèdre.

Deux éléments d'une variété V étant contigus suivant une face, nous dirons que les orientations de ces deux éléments concordent si (au sens qui vient d'être expliqué) elles n'entraînent pas la même orientation pour la face commune.

18. — Après avoir orienté d'une manière arbitraire un des éléments de V, choisissons les orientations des éléments contigus à celui-là de manière à ce qu'elles concordent avec la première, puis opérons de même pour les éléments contigus à ceux dont l'orientation vient d'être déterminée; et ainsi de suite. Si V est d'un seul tenant, nous arriverons à orienter ainsi chaque élément de V.

Comme il existe, en général, plusieurs moyens de passer d'un élément à un autre par l'intermédiaire d'éléments contigus, il se pourra que des orientations obtenues diffèrent suivant le mode de passage adopté. Dans ce cas, Y est dite unilatère. Si, au contraire, on ne rencontre jamais une telle contradiction, la variété est dite bilatère.

Nous supposons dorénavant notre variété Y bilatère et orientée de manière à ce que les orientations de tous les éléments concordent. Ceci n'est possible que de deux manières différentes (si V est d'un seul tenant).

19. — Nous appellerons enfin volume dans l'espace à n dimensions une variété n fois étendue de cet espace, supposée sans point double.

Nous appellerons surface dans l'espace à n dimensions, une variété n — ï fois étendue de cet espace.

20. — La notion de l'intégrale multiple, ainsi que sa réduction à des intégrales simples et les changements de variables que l'on peut effectuer sur elle, peuvent également s'exposer sous forme entièrement arithmétique. Je supposerai ces propriétés établies (J).

(') Leur démonstration pourrait présenter quelque difficulté pour les domaines les plus généraux. Mais, dans ce qui va suivre, le domaine d'intégration sera toujours soit un tétraédroïde, soit le volume compris entre deux

TannervII. — Introduction à la Théorie des fonctions 29

IM'llODUCTlOK A LA TIIE01UE DES FONCTIONS

On peut, dès lors, en déduire la formule de Green. Je me contenterai également, pour plus de rapidité, d'énoncer cette formule qu'il est aisé de démontrer en suivant la voie classique.

Soient, dans l'espace à m dimensions lieu du point (xi,... xm), un volume V limité par une surface frontière S et, dans ce volume, m fonctions tj*i,... à», de Xi, Xi,... xm, fonctions contitinues et admettant des dérivées du premier ordre intégrables. Sur un élément de S, la position d'un point sera définie par m — i coordonnées vi} v-2,... v,„-i, par exemple m — i des coordonnées barvcen triques du point paramétrique par rapport au tétraédroïde qu'il décrit. Mous supposerons ces coordonnées rangées dons un ordre tel que le déterminant

i\Tj

ÏXi

cxm

but

ôiîj

îl\

ôa?!

LVm — 1

ÔUin-i

^vm~l

soit positif toutes les fois que la direction («i,... am) est dirigée (au point considéré) vers l'intérieur de V. Alors on aura

dx.

dx*

dx,

éoCi ... dx,,

dvv

dxi

bxri dv,

dx„

b'um, ivm-i I

dvi ... dvm^,

Dans cette formule, l'intégrale muvle du premier membre est étendue au volume Y ; l'intégrale (m — i.)M*ie du second mem-

tétraédroïdes dont l'un est intérieur à l'autre (volume qui peut d'ailleurs être lui-même décomposé en tétïaédroïdes).

La formule du changement de variables n'aura, dans ces conditions, à être établie que pour les changements de variables linéaires.

NOTE SUP. QUELQUES APPLICATIONS DE l'i.NDICE DE KROJSECKER 45 1

bre est étendue à tous les éléments de S. les v étant, dans chacun d'eux, des coordonnées rangées d'après la règle qui vient d'être expliquée.