III. ORDRE D'UN POINT PAR RAPPORT A UNE SURFACE
23. — Ces préliminaires posés, nous pouvons définir l'ordre d'un point par rapport à une surface fermée S de l'espace En à n dimensions.
Soit une telle surface définie comme il a été indiqué dans ce qui précède (présentant d'ailleurs ou non des points doubles). Supposons provisoirement que, dans chaque élément, les coordonnées Xi,.., xn de l'espace En admettent, par rapport aux. paramètres iii,... un-i, des dérivées partielles du premier ordre continues. Dans le passage d'un élément à un autre contigu, les x ne seront, au contraire, assujettis qu'à être continus : ceci, d'ailleurs, entraîne visiblement l'existence et la continuité des dérivées (premières)
des x par rapport aux paramètres v (n° 20) commune à ces deux éléments.
sur la h
Considérons alors l'intégrale
• ■ xn
ba?!
i>oc„
ÔK,
ÎX!
brr„
ùu,
du.
du„ |
étendue à toute la surface S et dans laquelle r désigne la quantité positive
.NOTE SUR QUELQUES APPLICATIONS DE l'iXDICE DE KRONECKER 453
pendant que ult... «n j sont, clans chaque élément, les coordonnées du point paramétrique, rangées (n° 21) conformément à l'orientation de l'élément (').
Cette intégrale a un sens du moment que l'origine des coordonnées dans E„ n'appartient pas à S. On constate immédiatement qu'elle ne change pas de valeur :
a) lorsqu'on multiplie a?l5... x„ par une même quantité positive /, constante ou variable avec les a (pourvu quelle soit continue et dérivable dans les mêmes conditions que les x eux-mêmes) ;
6) lorsqu'on effectue sur les x n'importe qu'elle substitution orthogonale à coefficients constants et à déterminant égal à+i.
Soient, de plus, S et S' deux surfaces fermées, ayant un certain nombre d'éléments communs. Supposons-les bilatères et orientées de manière que l'orientation de chacun des éléments communs en question soit, dans S, inverse de ce qu'elle est dans S'. Alors, si on forme une nouvelle surface (évidemment fermée et bilatère comme les premières) en supprimant ces éléments communs et réunissant les éléments restants — surface que nous nommerons la résultante de S et de S' — l'intégrale (n) prise sur cette résultante sera la somme des intégrales relatives aux surfaces composantes S et S'. Ceci est une conséquence évidente de la forme de cette intégrale.
24. — La propriété fondamentale de l'intégrale (n), lorsqu'on l'étend à une surface fermée, est la suivante : On a
où K„ est une constante numérique, dépendant de n seul (2), et w un entier (positif, nul ou négatif).
Pour l'établir, nous supposerons la démonstration faite pour toute valeur de n inférieure à celle que l'on considère.
Nous poserons ensuite
(') C'est-à-dire à celle du tétraédroïde qui lui donne naissance.
(2) Kn n'est autre que la surface de la sphère dans l'espace à n dimensions.
INTRODUCTIC» A LA THEOP.1E DES FONCTIONS
et nous désignerons par 0 l'angle défini par les deux équations concordantes
cos 0 = ~ , sin 0 = r° , r r
cet angle étant supposé compris entre o et tc (ce qui est possible, puisque son sinus est positif). La différentielle de 6 est liée à celles des x par la relation
. 9 .g r^dxi — Xj (x-j,dx.2 -h ... -h xndxn)
ce qui permet de mettre la quantité sous le signe i ••- I dans I sous la forme
à dUk «i
"En
bx2
àXn
dU1
ôllj
dll ,
, 3N sinn~20 (i3) —
dll2
du2
sin"-20
dxs
dx»
àlln-l
où, par exemple,
D(ar3. .rv„
Soit alors F (6) -+- h (h étant une constante arbitraire) la primitive de sin"-2 6, autrement dit soit
F'(G) = sin»"2 0 ;
la quantité (i3) pourra s'écrire
(i4) avec
ôi
dU. ô«0
<lk = [F(6) + /,] ( J^ À„ t -f- ^ A3 , H- ... -h -fe ,
!-•" — 1 " rc.fc v'0 'o 'O
L'ensemble des termes de (i/j) qui ne figurent pas dans (i3), savoir
est, en effet, nul l'indice i variant de i h n ; h, de i à n — i).
NOTE SLR QUELQUES APPLICATIONS DE l'ïNDIGE DE KRONECKER 455
C'est ce qui résulte de l'identité, facile à vérifier (■) pour n fonctions Vlérivables) quelconques X2, X^, ... X„ de x2, ... xn
àU.
(A,,, X2 h- Av X3
OH., A-2,n-l X2 -t- ...)
en y faisant Xs
ii 5)
ôX3 dx3
aX„\ D(x2, ..., ag„)
et observant que l'on a
àX.
La forme (i4) donnée à l'élément d'intégration permet de lui appliquer la formule de Green, tant que les fonctions dt seront continues : nous aurons sous cette réserve, et en transformant le résultat par le théorème connu sur la multiplication des déterminants,
dX,
ex..
bx„
bVn
dv.dv* ... dv„o,
dV„.2 àVn 2
La sommation 2l est ici relative à toutes les faces de tous les éléments de S. Les coordonnées v doivent être, sur chacune de ces faces, formées et rangées comme il a été expliqué aux nos 20, 21, l'orientation de chaque face résultant de celle de l'élément auquel elle est empruntée.
Puisque la surface S est fermée, chaque face figure ainsi deux fois et (d'après les hypothèses et les conventions précédentes) avec des orientations inverses dans les deux cas.
Donc les deux termes relatifs à cette face, dans l'expression (16), doivent se détruire, si du moins le nombre h a la même valeur de part et d'autre.
(*) Cette identité, où les AJ)t sont les quantités définies par (i3), (i3'), est bien connue pour le cas de X2, ..., \„ constants : elle intervient dans la théorie du multiplicateur fvoir Jordan, (ioursat, etc., Traites d'Analyse).
25. — Mais tout ceci est surbordormé à la légitimité de la formule (16). Celle-ci n'est établie, quant à présent, que si 7'0 ne devient jamais nul, c'est-à-dire si la droite
(i-j x2 = ... = xn = o
ne coupe pas S.
Dans ce cas, en faisant h = o dans tous les éléments, on voit que I est nul.
Plus généralement, l'intégrale (n) est nulle si l'on peut mener par l'origine une droite quelconque D qui n'ait aucun point commun avec S.
Car, moyennant une transformation orthogonale qui ne change pas I, nous pourrons ramener D à être l'axe des xt, c'est-à-dire à être représentée par les équations (17).
25 bis. — Abandonnant ce premier cas, nous allons néanmoins commencer par faire certaines hypothèses particulières.
Nous supposerons d'abord qu'aucune droite issue de l'origine ne coupe un même élément de S en des points situés de part et d'autre de l'origine. Cette première hypothèse ne diminue pas la généralité : il suffit, pour la vérifier, de rendre, par subdivision, s'il y a lieu, les éléments assez petits pour que la distance de deux points d'un même élément soit toujours inférieure au double de la distance minima de l'origine à S, ce qui est possible en vertu de la continuité des x.
Nous supposerons ensuite l'existence d'une droite D dont l'intersection avec la surface satisfait aux conditions suivantes :
D ne rencontre aucune face.
Tout élément rencontré par D est tel que les x y soient des fonctions linéaires (en général non homogènes) des u. Il n'est d'ailleurs rencontré par D qu'en un point unique (').
Un tel élément est évidemment lui-même (et non plus seulement dans sa représentation paramétrique) un tétraédroïde, lequel pourra toutefois être dégénéré.
Les conditions que nous venons d'énumérer sont, en parlicu-
(,|) Ces suppositions n'ont rien d'essentiel. Elles ont seulement pour but d'éviter certaines complications du cas général.
NOTE SUR QUELQUES APPLICATIONS DE l'j.NDICE DE KRO.NECKEK [\§r]
lier, vendables si, dans loal élément de S, les x sont linéaires par rapport aux a, auquel cas S est dite une surface polyédrale fermée (').
On peut même assujettir D à être aussi voisine qu'on le veut d'une droite arbitrairement donnée D0 passant par l'origine.
26. — Nous admettrons, comme tout à l'heure, que D n'est autre que l'axe des xt, lieu des points où rQ est nul. Sur cette droite, 6 sera égal à zéro ou à 71, suivant le signe de xx.
D'après cela, les éléments S pourront être divisés en trois catégories :
i° Ceux sur lesquels $ ne devient égal ni à o ni à tt. La valeur correspondante de h sera prise égale à zéro;
2" Ceux où l'on aura (une fois et une seulej $ = o (de sorte qu'on ne pourra pas avoir Q= x). Nous prendrons alors h = — F(o) ;
3" Ceux où l'on aura (une fois et une seule) 5 = it. Nous prendrons alors h = — F (7:).
Moyennant ce choix de h, la formule (16) est valable même si S contient des éléments de deuxième ou troisième catégorie, bien qu'alors les fonctions ij» cessent d'être continues.
Pour le démontrer, supposons, par exemple, que tous les éléments soient de première catégorie, sauf un seul sl qui sera de deuxième; e, contiendra donc un point P, tel que
x3 =.:.== xn = o, x1 >> o.
Soit (u\, ..., u£,) le point paramétrique auquel correspond P,, lequel est intérieur au tétraédroïde T, qui donne naissance à s,. La formule de Green sera assurément applicable si, de ïl5 on retranche l'intérieur d'un tétraédroïde t, contenant également (à
(') Si les x sont linéaires par rapport aux u, le fait que D rencontre une face ou celui qu'elle a plus d'un point commun (et, par conséquent, une infinité de points communs) avec un élément, s'exprime par une équation linéaire non identique (ou quelquefois plusieurs équations) de la forme
A,^ + ... + An?n= o,
£p ..., £n étant les coordonnées d'un point quelconque de la droite et les À des constantes non toutes nulles.
On peut toujours choisir les \ (même au voisinage de quantités données) de manière à ne vérifier aucune des relations ainsi écrites.
son intérieur) le point paramétrique (aj, ...). On pourra donc écrire la formule (16) si l'on admet :
i° que l'intégrale I n'est pas étendue à toute la surface S, mais seulement à la surface (ouverte) S' qu'on déduit de S en en supprimant la partie de s, qui correspond à Ti ;
2° que, dans l'intégrale n — 2uPlc du second membre, on doit rajouter des termes correspondant à la frontière de zx (chacun de ces termes ne figurant qu'une fois, contrairement à ceux qui correspondent aux faces de S).
Soit i l'ensemble des termes en question, je vais démontrer que i tend vers zéro lorsque le tétraédroïde t, tend vers zéro dans toutes ses dimensions sans cesser de renfermer le point Pj,
Remarquons, en effet, qu'une demi-droite quelconque issue du point paramétrique (mJ, ...) coupe en un poiut unique la frontière de chacun des tétraédroïdes T\ et t,. Dans l'espace E,„ ces points donneront des points de ex en ligne droite avec Px et qui, puisque les n — i dernières coordonnées de Pj sont nulles, se déduiront l'une de l'autre en multipliant chacune des coordonnées en question par un même facteur positif. Il en résulte, d'après ce qui a été vu plus haut, que, si l'on fait abstraction du facteur [F (6) ■+- h], les éléments d'intégrales correspondants sur la frontière de T, et sur celles de Tj seront identiques ; car (le facteur [F ($) H- h] toujours mis à part) l'intégrale du second membre est de même iorme que I avec le simple changement de n en n — i.
Or, l'intégrale relative à la frontière de 1\ a un sens même lorsque l'on remplace chacun de ses éléments par sa valeur absolue. Soit I0 la valeur obtenue dans ces conditions. On aura
\i\ < Io*
a désignant le maximum de | F (5) + h\, c'est-à-dire de i F [0) — F(o) |, sur la frontière de t,. Or, ce maximum tend vers zéro avec les dimensions de r, puisque Q est égal à o en P,.
Donc, moyennant le choix indiqué de h, la formule (16) reste valable dans ces conditions ; et ce résultat s'établirait de même dans le cas d'un nombre quelconque d'éléments de 2e ou de 3e" catégorie. Il suffirait de faire dans chacun d'eux la construction que nous venons de faire dans s,.
NOTE SUR QUELQUES APPLICATIONS DE l'iNDICE l)E KRONECKER 45û
27. — Nous avons vu, d'autre part, que les termes eu h subsistent seuls, tous les autres se détruisant sur la surface fermée S. Donc, il vient :
Ji et J2 désignant respectivement les intégrales
rii — 1
xn
dx2
dXg
àxn
àVy
dV ,
dVi
ôx2
dx3
dxn
ÔU„2 ÔU„2
Ôt»„2
do1 dv2 ... tly„2
étendues, l'une, à l'ensemble des frontières des éléments de 2e catégorie et l'autre, à l'ensemble des frontières des éléments de 3e catégorie. On a d'ailleurs
Jt -+- J2 = O,
comme on le voit en remarquant que le second membre de (18) doit être indépendant de la constante additive qui reste arbitraire dans F. On peut donc écrire
I = -J.ITO-F(o)]
sinB-26rf8.
Or. comme nous l'avons déjà remarqué, l'intégrale iii') est de même forme que I avec changement de n en n — 1 ; et cette intégrale est étendue à un système de surfaces fermées de l'espace E„15 à savoir, celles qu'on obtient en projetant (*) sur En L les frontières des éléments de 2 ' catégorie de S et qui ne sont d'ailleurs autres que les frontières de tétraédroïdes à n — 2 dimensions. En vertu de nos hypothèses, il en résulte
les w étant des entiers, qui correspondent respectivement aux diverses surfaces fermées dont il vient d'être question.
|'J ce Projeter sur l'espace E„.j une figure de l'espace En » signifie simplement, en langage analytique, faire abstraction de l'une des coordonnées (ici xi).
46o INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS
Ceci donne bien pour I une valeur de la forme (12) : il suffit de définir K„ par la relation
K„= R1)1 ! sin"-2 0d8.
Une fois les nombres K„ définis par cette relation de récurrence (avec Kj = 2), notre conclusion est démontrée par ce qui précède, car, pour n = 2, l'expression (11) se réduit à
x:> \ ■* ou ou
)da=j d(arclgj-)
àx. bx.,\ , / j / . a;,\
c'est-à-dire à la variation d'argument précédemment considérée; elle vérifie, par conséquent, notre proposition.
28. — L'entier w qui figure dans la formule (12) s'appellera l'ordre de l'origine par rapport à S.
L'ordre d'un point quelconque (a,, ..., an) (non situé sur S) s'obtiendra en remplaçant dans la formule (n) x{, ..., xn par
Cet ordre est nul, en vertu des considérations précédentes si, par le point envisagé, on peut mener au moins une demi-droite (et non plus même une droite entière) qui ne rencontre pas S.
Si S est la frontière d'un tétraédroïde auquel l'origine est intérieure, la demi-droite définie par l'équation Q = n coupe S en un point et en un seul. L'ordre de l'origine est alors -h 1 ou — 1, suivant que le déterminant (10) est positif ou négatif.
C'est ce que l'on vérifie sans difficulté dans le cas de n = 2 (où S est la frontière d'un triangle). Il est aisé de passer de là, par récurrence (en appliquant ce qui a été dit au n° 22), aux autres valeurs de n, puisque, comme nous l'avons vu, J, est toujours formé d'ordres relatifs à des tétraédroïdes (ici, à un seul tétraédroïde) à n — 1 dimensions.
De plus, on déduit évidemment de là une expression de l'ordre relatif à une surface polyédrale fermée quelconque : on a
(19) " co = N,-N,
IN, -+- Na étant le nombre total des points où une demi-droite D' issue du point (a,, ..., a„ coupe S et l'un quelconque de ces
NOTE SUR QUELQUES APPLICATIONS DE L'iNDICE DE KRONECKER 46 1
points étant compté dans Nt on dans N2 suivant que les n sommets de l'élément qui contient ce point, une fois rangés dans l'ordre qui résulte de l'orientation de cet élément et précédés d'un sommet situé à l'origine, donnent ou non un létraédroïde d'orientation conforme à celle du système de coordonnées.
2G. — Si les x sont simplement dérivables par rapport aux u dans chaque élément, sans vérifier les hypothèses particulières que nous venons défaire, la valeur de l'intégiale I est encore de la forme (12).
Ce fait n'étant pas, comme on va le voir, entièrement indispensable à ce qui va suivre, nous en résumerons simplement la démonstration en disant que toute portion T de S voisine ' de D peut être remplacée par une autre T' peu différente de la première et telle que, clans tout élément de T' rencontré par D, les x soient des fonctions linéaires (?) des u. L'intégrale I prise sur la surface ainsi modifiée S' a la même valeur que sur S : l'ensemble de T et de T' forme, en effet, une surface fermée <7 telle que S puisse être considérée comme la résultante de S' et de la surface ou des surfaces a ; et l'intégrale relative à a est nulle parce que c est sans point commun avec n'importe quelle droite D' ayant pour une de ses équations xl = o.
S' satisfait aux conditions moyennant lesquelles la relation 1 2
(1) Pour préciser, on fera enlrer duns T lout élément ; avant un point commun avec D et lout élément s' conligu à un élément -..
(-) Remplaçons chaque élément s. ou =' par le létraédrcïde e ou e qui a les mêmes sommets : autrement dit, remplaçons les coordonnées x d'un tel élément par les quantités x' définies par les formules (20) (voir plus loin, n° 30): nous obtenons une nouvelle surface ouverte T[. D'autre part, joignons chaque point de la frontière ie T (laquelle est constituée par des faces F empruntées aux éléments s') au point correspondant de la frontière de T, : les segments de droite ainsi tracés forment une nou\elle portion de surface 'Y'2. T' sera l'ensemble de ïj et de T'.,.
Si la subdivision des éléments a été poussée assez loin, xt ne s'annulera ni sur T ni sur T'. De plus, soit p le minimum de r0 sur la frontière de T. Si (après avoir formé T, mais avant d'en déduire T') on a subdivisé les éléments z de manière que, dans chaque face F de cette frontière, la distance de deux points quelconques soit inférieure à p, la partie T2 sera sans point commun avec D.
Quant à la condition que D ne rencontre pas les faces, elle se réalise, comme nous l'avons vu, en donnant au besoin un déplacement très petit à D.
avait été démontrée tout à l'heure. Celte relation est donc aussi vraie pour S.
30. — Mais il n'est pas nécessaire d'insister sur cette évaluation de l'ordre dans le cas des coordonnées dérivables. Nous pouvons, en effet, passer directement du cas qui a fait l'objet du n° 25 bis au cas tout à fait général où les x sont des fonctions continues quelconques des paramètres.
Il nous suffira, pour cela, de remplacer encore ces fonctions a?n ..., xn par d'autres x[, ..., x'n qui en soient voisines et qui, dans chacun des éléments (après une subdivision convenable de ceux-ci), soient des fonctions linéaires des u.
Pour former ces x' , nous supposerons les éléments rendus, par subdivision, assez petits pour que, dans chacun d'eux, l'écart de chacune des fonctions continues x soit plus petit qu'un certain nombre yj.
Ceci fait, nous remplacerons chaque élément par le tétraédroïde (dégénéré ou non) qui a les mêmes sommets : autrement dit, désignant par
les coordonnées des n sommets d'un élément, nous prendrons, pour un point quelconque de cet élément,
(ao) x'i = tyx^î + t2xW -+- ... -f- tnx^ (i = i, a, ..., n),
en appelant t{, t2, ..., tn les coordonnées barycentriques (absolues) du point paramétrique correspondant par rapport au tétraédroïde qu'il décrit.
Il est clair (en vertu de la relation tt -+- ... -+- tn= i) que x', est compris entre la plus petite et la plus grande des quantités
Il en résulte évidemment que la différence xi — x[ est, dans tout l'élément considéré, inférieure en valeur absolue à ayj.
Nous substituerons, pour le calcul de l'ordre, les x[ aux a •.-. ce qui nous ramènera au cas précédemment traité : autrement dit, nous substituerons à S un polyèdre d'approximation, et nous défi-
NOTE SUR QUELQUES APPLICATIONS DE l'lnDICE DE KRONECKER 463
niions l'ordre par rapport à S comme étant l'ordre par rapport à ce polyèdre (1).
Pour légitimer cette définition, nous allons faire voir que la valeur de 03 est la même de quelque manière que soient choisies les fonctions x ainsi substituées aux x, pourvu que /= soit assez petit.
D'une manière précise, il suffira que r, soit inférieur à la plus petite distance réduite (voir le n° 271 du texte) du point («ls ..., On) à S.
Considérons en effet un second polyèdre d'approximation, autrement dit un second système de fonctions x", xl, ..., x"n voisines des x, formées d'une manière analogue aux x' . Supposons que les différences x] — Xj soient également toutes inférieures en valeurs absolues à irt.
Ce second polyèdre d'approximation sera déduit d'une décomposition des éléments de S différente de celle qui a fourni le premier. Soient par exemple z[, les tétraédroïdes en lesquels a
été décomposé T, dans le premier cas ; ~\, ceux en lesquels il
a été décomposé dans le second cas. On pourra trouver une troisième décomposition en tétraédroïdes ~'" qui soit une subdivision de l'axe commun de l'autre des deux premières J .
Dans chaque tétraédroïde t'", les x\ comme les x] sont des fonctions linéaires des u ; et il en sera par conséquent de même de chacune des quantités
où a est un paramètre positif quelconque.
Le lieu du point (£,, Ë2, ..., £,«) est une nouvelle surface polyédrale fermée 1, laquelle dépend du paramètre a.
Moyennant l'hypothèse faite sur Y], il n'arrivera pour aucune des valeurs positives de tj. que 2l passe par le point («j, ..., a„ .
(') Dans l'espace ordinaire, par exemple, on remplacera S par un polyèdre inscrit à faces suffisamment petites.
(2) Si les deux tétraédroïdes x'r x'[, par exemple, ont une région commune (c'est-à-dire s'ils ont en commun des points non frontières), cette région est un polyèdre convexe (cf. page 443, note 2) que l'on pourra décomposer en tétraédroïdes ; et on opérera de même pour chaque tétraédroïde x combiné avec chaque tétraédroïde x",
En effet, £, est (pour p. >> o) compris entre as', et as-, par conséquent entre as; — 2/; et as* -+- 2Vj. Or par hypothèse, en chaque point de S, l'une au moins des quantités | as; — en \ est supérieure à iyj.
Dès ]ors, l'ordre de notre point par rapport à 2 est défini pour toute valeur positive de p„, et (ainsi que cela se voit sur l'expression fn)) varie continûment avec p.
Gomme cet ordre est par essence un nombre entier, il reste nécessairement constant : il a donc la même valeur pour [± = o et pour ll = oo , c'est-à-dire pour les deux surfaces polyédrales envisagées.
Il résulte également de là que le résultat obtenu aurait été le même pour une autre surface fermée dont les points correspondent à ceux de la première de manière que la distance réduite de deux points correspondants soit constamment inférieure à y/, (r/ désignant n'importe quelle quantité comprise entre o et rj, limites exclues).
On voit donc que l'ordre m est continu d'ordre zéro par rapport aux. expressions des as en fonction des u : c'est-à-dire qu'il est très peu altéré (et même ne l'est pas du tout) si on altère les x de quantités partout très petites.
L'expression (n) ne mettait en évidence que la continuité d'ordre un : autrement dit, il paraissait nécessaire, pour affirmer que w était très peu altéré de s'assurer que non seulement les fonctions as, mais leurs dérivées par rapport aux u, n'avaient subi que des variations très petites.
C'est grâce à cette continuité d'ordre o que nous avons pu définir t» par le moyen d'une surface polyédrale d'approximation (*).
31. — co ne serait pas non plus changé si nous employions pour S un autre mode de représentation paramétrique, puisque sa définition par la formule (19) appliquée à une surface polyédrale voisine dé S ne dépend pas de cette représentation.
En un mot, w est bien une quantité complètement déterminée
(') L'aire cl une surface courbe clans l'espace ordinaire est continue d'ordre 1 seulement par rapport à la forme de la surface. Aussi ne peut-on pas la définir par un polyèdre d'approximation sans précautions spéciales.
NOTE SUR QUELQUES APPLICATIONS DE L'iNDICE DE KP.ON'ECKER 465
quand on donne la surface S et le point (al?... an) non situé sur cette surface.
Il reste constant tant que le point en question varie continûment sans traverser la surface.
D'une manière générale, on s'assurera aisément qu'il possède, même lorsque les x sont simplement continus, les propriétés que nous avons constatées dans le cas où ils sont dérivables, et que nous aurons à invoquer dans la suite.
31 bis. — Ajoutons que la combinaison de la formule (19) avec les résultats du n° 30 permet d'évaluer l'ordre dans les cas les plus simples.
Cet ordre est évidemment égal à± 1 lorsque S est un polyèdre convexe et (a1? ... a„) un point intérieur (puisqu'alors l'un des nombres N4, N2 de la formule (19) est égal à 1 et l'autre à zéro).
Il est de même égal à ± 1 pour la sphère h n dimensions de centre (at, a.2,... an), comme on le voit en remplaçant une portion de celle-ci par une portion de plan.
