IV. L'INDICE DE KRONECKER

32. — De la définition de l'ordre d'un point par rapport à une surface fermée, on passe à celle de l'indice d'un système de fonctions sur cette surface.

Soit encore la surface S lieu du point (xj,... xn) dans l'espace à /i dimensions. Soient d'autre part/,, f,... fn un système de n fonctions continues de xi}... xn lesquelles quant à présent n'ont besoin d'être définies que sur S.

L'indice du système de fonctions f ,.. . f, sur S est par définition l'ordre de l'origine des coordonnées par rapport à la surface qu'engendre le point dont les coordonnées sontf,... fn.

Cette définition suppose, d'après ce qui précède, quef,...^ ne s'annulent simultanément en aucun point de S.

f^fo,.., fn peuvent être regardés comme les composantes d'un vecteur et, en indiquant leurs valeurs en chaque point de S, on définit une distribution vectorielle continue attachée à celte surface.

Tannery IL — Introduction à la Théorie des fonctions 30

Une telle distribution a un indice déterminé sur la surface fermée du moment que le vecteur n'est nul en aucun point de cette surface.

33. — La propriété fondamentale de l'indice ainsi défini est relative au cas où S est la frontière d'un volume V dans l'espace à /i dimensions.

Supposons cette fois les fonctions f,... /« définies et continues dans tout ce volume et non plus seulement sur S. Supposons enfin que les équations

n'aient aucune solution commune à l'intérieur de V.

S'il en est ainsi, Y indice du système de fonctions considéré sur S est nul.

Pour le voir, commençons par remarquer que si, en un point quelconque de V, nous appelons F la plus grande des n valeurs absolues \f |, \f-2\,... \fn\, cette quantité F est elle-même une fonction continue, laquelle ne s'annule jamais et admet par suite un minimum positif g.

Subdivisons alors les éléments de V de telle manière que dans chacun d'eux l'oscillation de chacune des fonctions y soit inférieure à g' (g' <C g)- Soient alors s l'un de ces éléments, s sa frontière. A chaque point de cette dernière on peut faire correspondre un nouveau point ayant pour coordonnées fi,-.- fn '■ soit a la surface fermée décrite par ce second point. On peut toujours faire partir de l'origine des coordonnées une demi-droite qui ne rencontre pas a. Car si, en un point déterminé de s, f par exemple est la plus grande en valeur absolue des n fonctions, et qu'elle soit positive, ce qui entraîne f > g, la fonction f sera (puisque g' <C g) également positive en tout point de s ou de s : de sorte que la demi-droite f>= ... = fn = o, f -< o possède la propriété annoncée.

Il résulte de là que l'indice du système fi,... fn est nul sur s comme cela a lieu sur la frontière de chaque clément de V et que S peut être considérée comme la résultante (n° 23) de toutes ces frontières, le théorème est démontré.

34. — Au contraire, l'indice n'est plus nécessairement nul si les équations (21) ont des solutions communes à l'intérieur de V.

NOTE SUR QUELQUES APPLICATIONS DE L'iNDlGE DE KRONECKER ^67

Par contre, en les supposant pour fixer les idées en nombre fini et en désignant par P1? ... P;J les points correspondants de V, l'indice relatif à S est la somme algébrique d'indices partiels, dont chacun est caractéristique de l'un des points solutions.

Si, en effet, on décompose V en éléments, de manière que Pi par exemple soit à l'intérieur (et non sur la frontière) d'un élément £1 qui ne contient aucun des autres points P, et que, de même, ceux-ci soient strictement intérieurs à p — i autres éléments distincts £2, . . . sP, l'indice relatif à S sera la somme des indices relatifs aux frontières sl9 Si,... sp de £1,... c}) (tous les autres éléments donnant d'après ce qui précède des indices nuls). Il est d'ailleurs évident d'après cela que l'indice relatif à slf par exemple, est indépendant de la forme et des dimensions de l'élément £, sous la seule condition que celui-ci contienne à son intérieur le point solution Pt et aucun des autres (en particulier si petit que soit s,). Cet indice dépend donc uniquement du point Pi et de la manière dont les fonctions f se comportent au voisinage de ce point.

Si les / ont des dérivées en Pi, et que leur déterminant fonctionnel y soit différent de o, on peut montrer (') que l'indice partiel est égal à H- 1 ou à — 1, suivant le signe de ce déterminant fonctionnel .

Mais nous retiendrons surtout la conclusion suivante : w désignant l'indice du système fi,... fn sur S, l'inégalité co § o entraîne l'existence d'une solution commune aux équations (21) dans V.

35. — Le calcul de l'indice d'un système de fonctions sur une surface est souvent facilité d'une manière remarquable par le théorème suivant :

Théorème de Poincaré-Bohl. - — Soient, sur une même surface fermée S, deux systèmes de n fonctions/,,/.,, ...,/,: git g.v ...,gn, tels que les éléments d'un même système ne s'annulent simultanément en aucun point de S.

Si ces deux systèmes n'ont pas le même indice, il existe sur S au moins un point tel que l'on ait

V ' 9\ 9-2 On

{*) Voir Pioard, Traite d'analyse, tome TI.

et, si leurs indices ne sont pas entre eux dans le rapport ( — i)n, il existe sur S au moins un point tel que l'on ail

(22') !i^îa = ... = i»>o.

Ce théorème a été établi en 1886 par M. Poincaré (') et obtenu à nouveau d'une manière indépendante par M. Bohl (2) en 190/i.

Pour le démontrer, il suffit de considérer les deux systèmes auxiliaires

/) + \x9\ fï + Uffj fn + Fff«