CHAPITRE Vil. INTÉGRALES DEFINIES 5l

montre que le premier membre est compris- entre les deux quantités

Or, le nombre a pouvant être supposé assez petit pour que l'une et l'autre de ces deux quantités soient aussi voisines que l'on voudra de f(a — o), la proposition énoncée est démontrée. Lé lecteur ne manquera pas de rapprocher cette proposition de l'une des règles de l'Hospital (n° 235;.

Les remarques précédentes permettront, dans bien des cas, de ramener le problème proposé à un problème plus simple.

Supposons, par exemple, qu'on puisse mettre la fonction sous le signe / sous la forme

o(x) = fi{x) H- (a — x)~rf,(x),

fl (x) et f2 (x) étant des fonctions bornées et intégrables dans l'intervalle (a0, a) et r un nombre positif; on aura

I » (x) dx = I fl (ce) dx + I (a — x)~r f2 (x) dx ;

on n'a pas à s'occuper de la première intégrale du second membre ; quant à la seconde, si l'on applique la méthode précédente

en prenant pour d/ (x) la fonction positive >— — - — y , on voit tout de suite, en partant de l'identité

valable tant que r est différent de i, que l'on a

I (a — x)~r dx = - [(o — £)1 r — (a — «o)1-'] '■>

si l'on a r<i, le second membre tend certainement vers une

limite quand £ tend vers a par valeurs croissantes ; dans ce cas, l'intégrale

I o (x) dx

a un sens ; si l'on a r >> i et si, lorsque x s'approche de a, la fonction f2 (x) finit par garder un signe constant et par rester supérieure, en valeur absolue, à un nombre positif fixe, l'intégrale

I g (x) dx

grandit indéfiniment en valeur absolue quand | tend vers a par valeurs croissantes ; elle devient infinie comme

si l'on avait r = i , on aurait

(a — x)~* dx =-- los' — v ; ° a

si la fonction /2 (x) finit encore par garder un signe constant et par rester supérieure en valeur absolue à un nombre positif fixe, l'intégrale proposée deviendra infinie comme log (a — x). Par exemple, l'intégrale

où k2 est un nombre plus petit que i, a un sens, puisque l'on a

v/(i — O (i — !c*x*) v/(i -h x) (i — kW)

et que le facteur ( i — x) 2 qui devient infini aux environs dex=i

est affecté de l'exposant — - dont la valeur absolue est moindre

que i; au contraire si l'on avait k2 = i, l'intégrale proposée n'aurait pas de sens et l'intégrale