CHAPITRE VII. INTÉGRALES DEFINIES
deviendrait, quand x tend vers i par valeurs croissantes, infinie comme log ( i — x) .
L'intégrale eulérîenne de première espèce
B (p, q) = j xi'-1 (i — x)i-1 dx,
où p, q sont des nombres positifs, a toujours un sens, bien que la quantité sous le signe / devienne infinie aux limites inférieure et supérieure de l'intégrale, quand les nombres p, q sont plus petits que i.
L'intégrale
dx . cos x
devient infinie comme log ( x) quand x tend vers - par valeurs croissantes ; on a en effet
cos x
x sin x 1
et le second facteur a pour limite l'unité quand x tend vers - par valeurs croissantes ; on a d'ailleurs, pour x compris entre o et - ,
dx
— ■< -ii- i 1 1- i
= loS tg ( T ■+■
On a considéré au n° 250 l'intégrale
I log ( I — 2 a cos x -j- a2) dx, en supposant a2 § i ; pour a .== i, la fonction sous le signe I peut
s écrire
log(t — cos x)2 = log 4 -h 4 log sin - ;
elle devient infinie pour x = o ; mais l'identité
loe- sin - = x~r { xr log sin -
où l'on suppose que r est un nombre positif quelconque plus petit que i et où le facteur qui, dans le second membre, multiplie x~r a o pour limite quand x tend vers o par valeurs positives, montre que l'intégrale proposée a un sens ; en appliquant une méthode analogue à celle du n° 250, on trouve
l0g'(l COS X)2 dx = 2 71 log 2 (J).
Les remarques précédentes montrent que l'on peut donner un sens au symbole
I <ï> (a?) dx
lors même que, dans l'intervalle (ao, a), la fonction <p(œ), devient infinie aux environs d'un nombre limité de valeurs ; cette intégrale est alors la limite d'une somme d'intégrales relatives à des intervalles partiels auxquels il faudrait, pour obtenir l'intervalle total (a0> a), adjoindre un nombre fini d'intervalles infiniment petits. Si cette limite existe, on dira encore que la fonction fix) , quoiqu'elle ne soit pas bornée dans l'intervalle (a0, a), quoiqu'elle puisse ne pas être définie pour un certain nombre de valeurs, est intégrable dans l'intervalle (a0, a).
Bien que cette extension de la notion d'intégrale puisse être poussée beaucoup plus loin(2), c'est à ce cas simple, inévitable dès les éléments, que je me bornerai.
(') La comparaison à (a; — a)- '' d'une fonction cp (a?) qui devient infinie aux environs de x = a ne suffit pas toujours à décider de la nature de Fin té—
grale / Ç (x) dx. On peut alors avoir recours aux critériums logarithmiques
dont l'usage sera exposé au n° '257 ; le lecteur fera sans peine les légers changements qui permettent d'appliquer ces critériums au problème actuel, lequel, comme on le verra ne diffère pas au fond du problème traité au n° 255.
(2) Voir les premières pages des Leçons sur l'inlcg ration et la recherche des fonctions primitives de M. Henri Lebesgue.
