CHAPITRE VII. INTÉGRALES DEFIMES

Plusieurs des théorèmes démontrés pour les fonctions bornées et intégrables dans un intervalle donné s'étendent d'eux-mêmes aux fonctions intégrables, mais non bornées ; tels sont ceux qu'expriment les égalités

J™a ça na

[Af(x) + Bg(x)]dx = k f(x) è + B g (x) dx,

f(x) dx = I f(x) dx + I f(x) dx, .

a J a Jb

où, pour la première, A et B désignent des constantes.

Je m'arrêterai un instant sur le second théorème de la moyenne. Supposons que la fonction y (x; définie dans l'intervalle a0, a), sauf peut- être pour x = à0, ne devienne infinie qu'aux environs de ce point et que l'intégrale

f(x) dx

ait un sens; désignons, en reprenant les notations du n° 254, par (p(x) une fonction non-croissante dans l'intervalle (a0, a) et qui ne soit jamais négative dans cet intervalle. On voit d'abord que l'intégrale

I f{x) ? (x) dy

a elle-même un sens ; car si l'on désigne par a^, a"0 ^> a'0 deux nombres quelconques appartenant à l'intervalle [a0, a) et plus grands que a0, mais aussi voisins de a0 qu'on voudra, on aura, en vertu de ce second théorème de la moyenne

, f(x) ? ix) dx — W («o r+- o),

en désignant par p, un nombre appartenant à l'intervalle formé par la plus grande et la plus petite des valeurs de l'expression

/(*) dx

quand x varie de a'0 à a"0 ; mais, puisque l'on suppose que l'intégrale

I fix) dx

a un sens, la -valeur absolue de a peut être supposée aussi petite qu'on le veut, pourvu que ar0 et a"0 soient suffisamment voisins de a0 ; il suit de là que l'intégrale

ça

I j{x) © (x) dx

a un sens.

Si, maintenant, on désigne toujours par A0 et A les bornes inférieure et supérieure de la fonction de x

f(x) dx

dans l'intervalle (a0, a), puis par A'0 et A' les bornes inférieure et supérieure de la fonction de x

fj(x)dx

dans l'intervalle (a'0, a) on aura

A0 — £<Ao<A0H-e, A — e<A'^A + e, en posant

£ = I f{x) dx ;

Ja0 ' I

le nombre £ peut être supposé aussi petit qu'on le veut, pourvu que a'0 soit suffisamment voisin de a0 ; d'ailleurs le second théorème de la moyenne appliqué à l'intervalle (e^, a) donne