CHAPITRE VII. INTEGRALES DEFINIES

périeure, c'est-à-dire s'il y a une décomposition telle que la somme supérieure correspondante soit égale à A ; un nombre A n'appartient pas à (E) s'il n'y a point de décomposition telle que la somme supérieure correspondante soit égale à A. Soit, de même, (E) l'ensemble des sommes inférieures S. Les ensembles E et E sont bornés en haut et en bas puisque tous leurs éléments appartiennent à l'intervalle

en vertu des inégalités (3) du n° 239. La borne inférieure ( J) de l'ensemble (E) et la borne supérieure (J) de l'ensemble (E) sont ce qu'on appelle, l'une, l'intégrale par excès, l'autre, l'intégrale par défaut de la fonction f{x) dans l'intervalle (a0, a) et on les représente respectivement par les symboles

/(as) dx, j f(x) dx,

qui rappellent la notation de l'intégrale définie, quand celle-ci existe.

Ce rapprochement est naturel, en vertu de la proposition suivante :

A chaque nombre positif e correspond un nombre positif '/] tel que l'on ait à la fois, pour une même décomposition,

sous la seule condition que les écarts des intervalles partiels de la i décomposition à laquelle se rapportent les sommes supérieure et inférieure S et S soient tous inférieurs à rt.

Ici encore, en employant un langage sur lequel je me suis expliqué plus haut, on dit que S et S sont respectivement des valeurs approchées de J et de J, aussi approchées qu'on veut, pourvu que les intervalles partiels soient suffisamment petits ; on dit aussi que les sommes S et S ont respectivement pour limites les nombres J et J, quand les intervalles partiels tendent vers o. Je raisonnerai sur les sommes supérieures.

Reprenons les notations de la fin du numéro précédent relatives aux trois décompositions

(a0, olf ï.-., an t, a), (a0, a[, ..., a^i,.a), (a0, clu ..., a),

dont on spécifiera tout à l'heure les deux premières, et dont la troisième est déterminée dès que les deux premières le sont ; je désignerai toutefois par vj± (au lieu de 77) le plus grand des écarts des intervalles partiels de la première décomposition, ou un nombre plus grand. S, S', 2 sont toujours les sommes supérieures relatives aux trois décompositions. On aura

O <; S — S < (p — 1) ra (M — m),

et, par conséquent,

o <; ÎS — J <: (p — 1) 7i i (M — m) + S' — J.

Donnons-nous un nombre positif s et choisissons ensuite un nombre positif s' <C s. D'après la définition même de la borne inférieure d'un ensemble, il y a dans l'ensemble (E) un élément dont la différence avec J est moindre que s' ; soit S' cet élément et choisissons pour (a0, a[, ..., a'p t, a) une décomposition pour laquelle S' soil la somme supérieure ; p est alors déterminé ; choisissons le nombre positif yji de façon que l'on ait

quelle que soit la décomposition (a0, ai, ..., an-i), pourvu que tous les écarts des intervalles partiels ne dépassent pas yj15 on aura

On déterminera de môme un nombre positif r^ tel que pour toute décomposition où les écarts des intervalles partiels sont moindres que Y]-2, la différence, positive ou nulle, J — S soit moindre que s et l'on prendra pour y) le plus petit des nombres yji, rri. La proposition énoncée est entièrement démontrée.

242. — La condition pour que la fonction f(x)t bornée dans l'intervalle (a0, a), soit intégrable dans cet intervalle est maintenant bien claire ; il faut et il suffit que les nombre J et J soient égaux.