CHAPITRE VII. INTÉGRALES DEFIMES 5j
Mais, lorsque a'0 tend vers a0 par valeurs décroissantes, o(a'0 -h o) tend vers la limite © (aQ H- o; ; en effet on peut faire correspondre au nombre positif a un nombre positif ^ tel que l'on ait
sous les conditions
Si l'on fait tendre h vers o par valeurs décroissantes, on voit qu'on aura sous les mêmes conditions,
<? (a0 -+- o) — cp (a0' H- o) <J oc ;
quand a„ tend vers a0 par valeurs décroissantes, (o(a'0 H- o a donc pour limite © «o -H o . Cette remarque jointe à ce que, dans ces conditions, s lend vers o montre, que dans les inégalités (i), le premier et le troisième membres sont aussi voisins qu'on le veut de A0©(ao H- o), A© :a0 + o , en sorte qu'on peut écrire
A0<? («o + o) < I /(a;) o (ce) cfo <^ Acp (a0 -h o).
La forme donnée par Weierstrass à ce second théorème de la moyenne subsiste évidemment dans les mêmes conditions.
Pour ce qui est des propositions qui ne sont pas susceptibles d'extension, je me contenterai de faire remarquer que si les deux fonctions ©(as,1, ty(x) sont intégrables dans l'intervalle aQ, a sans y être bornées, on ne peut plus affirmer que leur produit soit intégrable, comme on le voit en prenant par exemple
\Ji—x
257. — Voici maintenant un autre problème analogue à celui que l'on vient de traiter.
Soit © (as) une fonction de as définie pour toutes les valeurs de x supérieures à a et intégrable dans tout intervalle (a, £), où ^désigne
un nombre quelconque plus grand que a : lorsque £ augmente indéfiniment par valeurs positives, l'expression
a (x) dx
tend-elle vers une limite?
S'il en est ainsi, on représente cette limite par le symbole
Xoo o (x) dx.
Remarquons d'abord que, lorsqu'on cherche à répondre à cette question, on peut remplacer la limite inférieure de l'intégrale par tel nombre que l'on voudra, plus grand que a ; puis, que la proposition générale du n° 158 fournit immédiatement la règle générale que voici :
Pour que l'expression
(x)dx
tende vers une limite lorsque 2 augmente indéfiniment par valeurs positives, il faut et il suffit qu'à chaque nombre positif a corresponde un autre nombre positif A, tel que les inégalités
entraînent l'inégalité
dx
Supposons d'abord que, à partir d'une certaine valeur de x, la fonction © (ce) conserve le même signe. On pourra alors, sans nuire à la généralité, supposer que cette fonction soit positive pour les valeurs de x plus grandes que a ; s'il en est ainsi, l'intégrale
I es (a-) dx,
où | est plus grand que a, augmentera avec 2 ; ou elle tendra vers
