CHAPITRE VII. 1XTEGP.ALES DEFIMES 5o

une limite, ou elle tendra vers -+- oo ; pour reconnaître ce qui en est, on comparera l'intégrale proposée à une autre de même nature,

ri

I <l> (x) dx,

où di (x) est aussi une fonction qui reste positive lorsque la valeur de x est supérieure à a ; si l'on a. pour les valeurs de x supérieures à un certain nombre fixe,

et que la seconde intégrale tende vers une limite, il en sera de même de la proposée ; si, au contraire, on a

et que la seconde intégrale augmente indéfiniment avec ç, il en sera de même de la première.

Il sera souvent commode, pour faire la comparaison, d'étudier le rapport

si ce rapport reste compris, pour toutes les valeurs de x supérieures à un certain nombre fixe, entre deux nombres fixes positifs non nulsj a., |3, les deux intégrales auront le même caractère : toutes deux augmenteront indéfiniment avec leur limite supérieure £, ou tendront vers une limite ; on sera certainement dans ce cas si, pour x = -h co , le précédent rapport a une limite différente de zéro. Le lecteur reconnaîtra sans peine que, s'il en est ainsi, et si les deux intégrales augmentent indéfiniment avec ç, leur rapport

aura, pour £ = + oo , une limite égale à celle du rapport j / \»

pour as =,~j- oo . Si le même rapport, pour les valeurs de x supérieures à un certain nombre fixe, reste plus petit qu'un nombre p, ce qui arrivera certainement s'il a pour limite zéro, la première intégrale tendra vers une limite si la seconde tend vers une limite.

Si, enfin, le rapport t4-( finit par rester plus grand qu'un nombre

positif et non nul a, et si la seconde intégrale augmente indéfiniment, il en sera de même de la première.

On voit tout d'abord que l'intégrale

I <p (x) dx

augmentera indéfiniment si, pour les valeurs de x supérieures à un nombre fixe, la fonction ©(as) reste plus grande qu'un nombre fixe |3 > o : en effet, l'intégrale

l bdx = p (P — a)

augmente indéfiniment avec f ; mais lors même que l'on aurait

liai, 9 (x) = o,

x = cc

on ne pourrait affirmer l'existence d'une limite pour l'intégrale proposée; par exemple, l'intégrale

Ç dx ,

croît indéfiniment avec ^.

L'intégrale la plus simple qui puisse être prise pour terme de comparaison est la suivante :

/ ç dx

où r est un nombre positif ; elle est égale à

?~r — al~r i — r

si r est différent de i, à log si r est égal à i ; elle tend vers une limite, ou augmente indéfiniment suivant que l'on a

r ^> 1 , ou r < i ;

on pourra donc appliquer les règles précédentes en comparant la fonction <p (as) à la fonction 1 .