CHAPITRE VII. INTÉGRALES DEFINIES 6l

Considérons par exemple l'intégrale

■dx,

■où f(x) et F (x) sont deux polynômes entiers en x et n'admettant point de diviseur commun ; je supposerai, afin que la fonction

finisse par rester positive, que les coefficients des plus hautes puissances de x dans les deux polynômes soient de même signe ; pour que cette fonction soit intégrable dans un intervalle, il faut que le polynôme F (ce) n'admette pas de racine dans cet intervalle; pour que l'intégrale proposée ait un sens quelque grand que soit le nombre positif £, il faut donc que le polynôme F (x) n'ait pas de racine positive. Si le degré de /(as) était égal ou supérieur à celui

f(x) de F (as), la fonction 'L, < finirait par rester supérieure à un nombre

positif fixe et l'intégrale proposée augmenterait indéfiniment avec £ ; si le degré de /(as) n'était inférieur que d'une unité à celui de

F (as), le rapport de*UV4 à - aurait, pour x infini, une limite différente de zéro et l'intégrale proposée deviendrait infinie comme log £ ; si enfin le degré de/; a?) est inférieur à celui de F (x) de deux

unîtes au moins, on voit en comparant la lonction ^ >— < a -$, que

l'intégrale proposée a une limite pour c infini. En résumé, l'expression

dx

aura un sens si le polynôme F (x) n'a pas de racine positive ou nulle et si le degré def(x) est inférieur de deux unités au moins à ce\\ii de F (x).

Soit encore l'expression

xi>~1 e~x dx,

où a est un nombre positif quelconque ; si l'on compare l'expression xp~l e~x à—, 7- étant un nombre plus grand que i, on reconnaît sans peine que l'intégrale précédente a une limite pour ê, infini ; il est aisé de reconnaître qu'il en est de même lorsque a tend vers o ; on en conclut que l'intégrale

xi'-1 e~x dx

(intégrale eulérienne de seconde espèce) a un sens pour p > o. On en représente la valeur par F (p).

Lorsque la comparaison de la fonction © (x) à — ne réussit pas,

ce qui arrive quand le produit xr<p(x) augmente indéfiniment avec as pour r > i et tend vers zéro pour r< i, on peut employer d'autres termes de comparaison (r), dont je vais dire quelques mots.

Si l'on pose

log2 x = log log X, log3 x =■ log log. log X,

log"' x = log log ... log X, on aura, à cause de l'identité

log'" x = log log'"- l X, et de la règle de dérivation relative aux fonctions de fonction,

tn /i v Dl (log'"-1 x) i

D (lo°m x) = — - = : "

x\ b ' log'"-1 x x log x log"2 x ... log"'-1 X '

d'où, en désignant par a un nombre suffisamment grand,

dx

X log X log2 X ... log'

= log"1 ç — log'" a ;

lors donc que '£ augmente indéfiniment, le premier membre augmentera aussi indéfiniment. Il en sera de même de l'intégrale

o (x) dx

(') Abel, Œuvres, 2° éd., I. n, p. 200.