CHAPITRE VU. INTÉGRALES DEFIMES

si, pour les valeurs de x supérieures à un nombre positif fixe, le rapport

<a (x) x log x log- x ... log'"- l x

reste supérieur à un nombre positif fixe. Au contraire l'identité

- l dI - ' - ]= L f

a L(log"1 x)*J x log x log2 a-- ••• log"1"1 x (log" A-),n"a où l'on suppose que a est un nombre positif, montre que l'on a

J^Ç dx 1 1~ i i ~j

a xlogxlog2a;...logm-1cc(log'"a;)I+a aL(log"!a)a (log,n £)a T

et cette égalité prouve que le second membre tend vers la limite

a (log'" rt)a lorsque £ augmente indéfiniment ; l'expression

/ o (a?) dx

aura donc un sens si, pour les valeurs de x supérieures à un certain nombre fixe, le rapport

x log x log2 x ... log'"-1 a?(log"! a,)I + a

reste inférieur à un certain nombre positif fixe.

L'analogie entre ces règles et celles qui regardent la détermination de la convergence ou de la divergence d'une série à termes positifs n'a pu manquer de frapper le lecteur. Le lien qui unit les deux questions est mis en pleine lumière par la remarque suivante, qui est due à Cauchy.

Soit cd (x) une fonction de x qui, pour toutes les valeurs de x supérieures à un certain nombre fixe a, soit positive et non-crois-

santé, en sorte que, pour toutes les valeurs de x, x' qui satisfont aux conditions

on ait

¥{x) = ? ix') > ° !

la série

dont les termes finissent par être positifs sera, ou non, convergente suivant que l'intégrale

| cp [x) dx

tend, ou non, vers une limite, quand ç augmente indéfiniment par valeurs positives.

Soient en effet p, q des nombres naturels plus grands que a et supposons q ~> p ; si l'on divise l'intervalle (p, q) en q — p intervalles égaux à l'unité,

{p, p-hij. (p-+- I-P+-2), ... (g— i, q),

les bornes supérieures de la fonction <p(a?) dans ces intervalles seront respectivement

tandis que les bornes inférieures seront

En désignant en général par 5» la somme des n premiers termes de la série proposée, en sorte que l'on ait

sq — sp =■■ cp (p 4- l) H- <?(p H- 2) -+- ... + cp(ry), s,-! — Sp i = «p(p) -h ç(p + i) -h ... -+- <?(</ — i),

on voit que l'on aura

(l) s«-s;-^ ? (œ) rfa? ^ sî-i — s;;-i-