CHAPITRE VII. INTÉGRALES DEFINIES

Supposons que la série proposée soit convergente, et soit S sa somme ; si, p restant fixe, q augmente indéfiniment, l'intégrale

I cp (») dx

reste toujours inférieure à sq i — s/J l et par suite à S — sp i : donc, puisqu'elle augmente avec q, elle tend vers une limite ; il en est de même de l'intégrale

quand | augmente indéfiniment par valeurs positives.

Réciproquement, si cette dernière intégrale a une limite L, l'intégrale

I cp (x) dx Jp

restera, lorsque q augmentera indéfiniment, inférieure au nombre

cp (x) dx ;

il en sera de même, à cause de l'inégalité (i) de la quantité sq — sp, ce qui suffit à prouver la convergence de la série proposée. On a dans tous les cas

(2) o<S | y{x)dx — (sq — 0^?(p) — <p(ç);

cette inégalité donne lieu aux remarques suivantes :

Si la série est convergente, en sorte que l'on ait certainement

lim. <?(g) == o,

q=oo

on voit, en désignant par R^ le reste de la série limitée au jplème terme © (p) et en faisant croître q indéfiniment, que l'on a

ç (x) dx — Rp <i cp (p) ;

Tannery. — Introduction à la Théorie des fonctions ' 5

ainsi, en prenant pour le reste R?J cle la série la valeur

J/-»co <p (x) dx, p

on commettra une erreur au plus égale au dernier terme conservé

Je vais maintenant établir, dans le cas où la série est divergente, des conclusions qui sont évidentes lorsqu'elle converge. On déduit des inégalités (2) les suivantes :

en représentant d'une façon générale par <I> (n) la quantité

I «y (x) dx — sn, «y «

où n est un nombre naturel plus grand que a. Ces inégalités montrent que la fonction <D(/i) augmente avec n et qu'elle n'augmente pas indéfiniment; elle tend donc vers une limite, lorsque n augmente indéfiniment par valeurs naturelles. Par exemple, l'égalité

Jx dx \ — = log X, n X

jointe aux remarques précédentes, montre que la quantité

h In) = 1 H h -„ -+- ... H W a

tend vers une limite lorsque n augmente indéfiniment ; les inégalités (1) montrent que log n est compris entre

Enfin les propositions que l'on vient de démontrer montrent que