CHAPITRE VII. INTÉGRALES DEFIMES 6y

la série dont on obtient les termes en faisant x = a, a-\- i, ... (a suffisamment grand; dans l'expression

x log x log2 x ... log'1"1 x (logîl x) 1 +a

est convergente si a. est positif, divergente si a est nul ou négatif. Si. dans l'intégrale

(x)dx,

la fonction <p(x) ne garde point un signe constant pour les valeurs de x supérieures à un nombre fixe, les méthodes précédentes ne peuvent s'appliquer ; c'est ce qui arrivera par exemple si l'on suppose

tp [x] = sin x2 ou cp(oj) = cos x2 ;

on montrera toutefois, dans le numéro suivant, que les intégrales

sinœ2 dx,

cos x2 dx

ont un sens; ces intégrales jouent un rôle important en physique mathématique et dans la théorie des nombres.

Au lieu de supposer que, dans une intégrale, la limite supérieure augmente indéfiniment par valeurs positives, on peut supposer que la limite inférieure augmente indéfiniment par valeurs négatives ; si la valeur de l'intégrale

ça

o [x) dx J—t\ '

tend vers une limite lorsque vj augmente indéfiniment par valeurs positives, on représentera cette limite par le symbole

v{x)dx.

Enfin si, lorsque yy et | augmentent indéfiniment par valeurs

positives, indépendamment l'un de l'autre, l'expression

(x)dx

-'1 tend vers une limite, on représente cette limite par le symbole

! o(x)dx.

J — oo

Pour que ce symbole ait un sens, il faut et il suffit que les deux symboles

Xa /"*4~ oo

y(x)dx, I y(x)dx,

-oo J a

où a est un nombre quelconque, aient aussi une signification ; la somme de leurs valeurs est alors égale à

I <?(x)dx.

xJ OO

En appliquant les méthodes précédentes, on trouvera par exemple que l'expression

I e x'dx

a un sens. On démontrera plus tard qu'elle est égale à /îr. Il ne faudrait pas conclure de ce que l'expression

f <p (x) dx

tend vers une limite lorsque 2 augmente indéfiniment par valeurs positives que le symbole

I «p (x) dx

J — oo

a un sens. On a par exemple, en désignant par £, yj des nombres positifs,

X' ç xdx , / 1 + £2