CHAPITRE VII. INTÉGRALES DEFINIES

Cette quantité ne tend vers aucune limite lorsque £ et Tj augmentent indéfiniment et indépendamment par des valeurs positives ; elle est au contraire toujours nulle si l'on suppose •/) = f .

258. — Bien que je n'aie pas l'intention d'exposer les divers procédés qui servent à la détermination des intégrales définies ou indéfinies, j'établirai une proposition fondamentale sur laquelle reposent presque tous ces procédés.

Considérons l'intégrale

J = I o[x)dx;

je suppose que clans l'intervalle (A0, A) la fonction <p(V) soit continue et que les nombres a0, a appartiennent à cet intervalle. Soit maintenant /(y) une fonction de la variable y; sur cette fonction, je suppose : qu'elle admette dans l'intervalle (60, 6) (') une dérivée continue y (y) ; que l'on ait

enfin que, pour toutes les valeurs de y appartenant à l'intervalle

(60, 6), on ait

dans ces conditions, en désignant par à (y) la fonction de y que l'on obtient en remplaçant x par f{y) dans (p(x), on a

Soit en effet, en désignant par y une valeur quelconque appartenant à l'intervalle (60, 6),

Jb0

(') On ne suppose pas 6o <C b. La supposition bq = b entraînerait a0 = a; l'intégrale proposée et la transformée seraient nulles ; la proposition resterait vraie, mais la démonstration ne s'appliquerait plus.

la fonction ^F(y) admettra dans l'intervalle (60, b) une dérivée W(y) égale à {\'{y)f'(y), puisque cette dernière, fonction est continue. Soit de même, en supposant que x appartienne à l'intervalle (a0, a),

&(x) = i o[x)dx;

la fonction $(cc) admettra, dans l'intervalle (a0, a), une dérivée par rapport à x égale à (d(x), à cause de la continuité de cette dernière fonction. Si maintenant clans O(as) on remplace x par f(y), on obtiendra une fonction Wt (y) de la variable y, définie dans l'intervalle (60, b) et y admettant une dérivée égale à ^(y)/'(y); dans l'intervalle (60, h), les deux fonctions *F (y; et ^ (y) ont des dérivées égales, elles ne peuvent donc différer que par une constante, et cette constante est nulle puisque l'on a, pour y = b0,

Les deux fonctions ^F(y) et ^(y) sont donc égales pour toutes les valeurs de y appartenant à l'intervalle (60, b), en particulier pour y = b ; on a donc

c'est ce qu'il fallait démontrer.

Il convient de remarquer que, lorsque y varie de bQ h b, la fonction /(y) , qui peut d'ailleurs être tantôt croissante, tantôt décroissante, doit prendre, à cause de la continuité, toutes les valeurs qui appartiennent à l'intervalle (ao, a); il est aisé de voir comment, si elle en prend d'autres, sa variation en dehors de cet intervalle n'influe pas sur la valeur finale de l'intégrale

f Hy)f(y)dy

dont on pourrait alors resserrer les limites; je laisse ce soin au lecteur.

La proposition resterait vraie si, pour un certain nombre limité de valeurs de y appartenant à l'intervalle (60, 6"), la dérivée/' y cessait d'exister en devenant infinie : il suffira de supposer que celle