CHAPITRE VII. INTEGRALES DEFIMES 7 L

circonstance se présente pour la limite supérieure b, et seulement pour cette valeur ; on aura alors, en désignant par 6' un nombre quelconque compris entre 60 et 6 et par a' le nombre f(b'),

f\(x)dx = f <b(y)f(y)dy;

si on fait tendre b' vers b par valeurs croissantes, a' tendra vers a, à causfc de la continuité de la fonction f{y) et, par conséquent, le premier membre de l'égalité précédente aura pour limite

Ça

- i (f (x) dx ;

JaQ

le second membre tendra vers la même limite qui doit, en vertu des conventions adoptées plus haut, être représentée par

f Hy)f(y)dy,

quand même y (j) n'aurait pas de sens pour y = b.

Au lieu de prendre pour point de départ le théorème relatif aux dérivées des fonctions de fonction, on peut, afin de justifier la règle qui fait l'objet de ce numéro, partir de la définition même de l'intégrale définie ; on arrive ainsi à des conditions différentes, encore suffisantes pour l'application de cette règle et moins restrictives sous certains rapports. Je me contenterai de faire, dans ce sens, les remarques qui suivent.

Si la fonction <p(as) est bornée et intégrable dans l'intervalle (a0, a); si la fonction /(y) est continue et non-décroissante ou non-croissante dans l'intervalle (60, b); si, dans ce même intervalle, elle admet une dérivée bornée /'(y) ; si l'on a

si enfin, la fonction <\> (y) f (y) , où tji(y) désigne toujours ce que devient <p(x) quand on y remplace x par f(y), est intégrable dans l'intervalle (60, 6), on a

f\[x)dx= f Hy)f(r)dy.

Supposonns en effet que la fonction f(y) soit non-décroissante : à chaque nombre positif s correspond un nombre positif Y] tel que, sous les conditions

on ait

Ceci posé, soit (60> blt ..., bn l, b) une décomposition de l'invalle (b0, b) en intervalles partiels ayant tous une étendue moindre que yj ; si l'on pose

ai = f{bi)' •••» On-l =Abn-l),

on aura

a0 ^ al ^ ••• ^ an-i < «.

et, de plus, les intervalles partiels qui constituent le mode de décomposition (a0, a1? ..., a„1, à) de l'intervalle (a0, a) auront tous des écarts moindres que s.

Soient encore |3o, /3,, ..., |3n 1 des nombres respectivement compris entre 60 et blt bt et 6.2, ..., bn i et 6 tels que l'on ait (n° 216),

«i — «o = (&, — W(Po).

«2 — «l = (ft2 — W(Pl).

a — «„! = (6 — fe„1)//(p„1); soient enfin

*o=/(Po). «i. = /(Pi). -, --i-/(P*-i)i

les nombres a0, al5 ..., a„t appartiendront respectivement aux intervalles (a0, «i). («i, a2), ..., (a„t, a) et les deux sommes égales

K — «oh (ao) + ••• + (a — a„i)<p(an 1),

ft - W,'(îW(Po) + ... + (& - ^-O^-O/'^-i),

seront des valeurs approchées des intégrales

f\(x)dx, f <Hy)f'(y)Jy.

'bn