CHAPITRE VII. INTEGRALES DEFINIES

La condition est nécessaire, puisqu'il y a des sommes relatives à une décomposition pour lesquelles les écarts des intervalles partiels sont aussi petits qu'on veut, et qui diffèrent aussi peu qu'on le veut soit de J , soit de J. Elle est suffisante, car si l'on suppose J = J et si l'on désigne par J la valeur commune de ces deux nombres, à chaque nombre positifs, correspond un nombre positif v^ tel que l'on ait, pour toute décomposition où les écarts des intervalles partiels sont moindres que Tj

dès lors, puisque toute somme S relative à la même décomposition appartient à l'intervalle (S, S), on aura certainement | S — J | <C e ; et cette inégalité sera assurée pourvu que les écarts des intervalles partiels de la décomposition à laquelle S se rapporte soient moindres que Y].

Pour que l'on ait J = J, il faut et il suffit qu'à chaque nombre positif s corresponde une décomposition fa0, aL, ..., a telle que la différence

S — S = (aj — a0) (Mi — rrii) + (a, — «i) (M2 — m2) -4- ... -h (a — a„i) (Mn — mn)

entre les deux sommes supérieure et inférieure relatives à cette décomposition soit moindre que s.

La condition est nécessaire puisque si l'on a J = J = J, il y a des décompositions pour lesquelles les sommes supérieure et inférieure diffèrent de J aussi peu qu'on le veut.

Elle est suffisante ; on a, en effet, quelle que soit la décomposition,

il faut que le nombre fixe J — J soit nul, pour que le dernier nombre puisse être rendu plus petit que tel nombre positif qu'on voudra.

Quand la fonction f(x) est intégrable dans l'intervalle (a0, a), la

valeur de l'intégrale | /(as) dx appartient toujours à l'intervalle

(S, S) quelle que soit la décomposition à laquelle se rapportent

les deux sommes S, S et l'écart S — S de cet intervalle est une limite supérieure de l'erreur que l'on commet en prenant pour l'intégrale une somme quelconque relative à cette décomposition. En particulier la valeur de l'intégrale appartient toujours à l'intervalle [(a — a0) m, (a — a0) M].

La condition d'intégrabilité peut encore être transformée comme il suit.

Pour que la fonction f(x) soit intégrable dans l'intervalle (a0, a) il faut et il suffit qu'à chaque couple de nombres positifs K et a corresponde une décomposition (a0, ai, ..., a) telle que la somme des écarts des intervalles partiels où l'écart de la fonction f(x) est supérieur ou égal à K soit moindre que a.

Si, en effet, pour une décomposition quelconque (a0, ai? ..., a), on désigne par a la somme des écarts des intervalles partiels où l'écart de la fonction est égal ou supérieur à K et si, d'ailleurs, on garde les mêmes notations on aura évidemment

<tK <; S - S <; [a - a0) K + a (M - m).

La condition est nécessaire, car lorsqu'on se donne K et a, la supposition S — S ■< «K, entraine a <C a. Elle est suffisante ; supposons en effet qu'elle soit vérifiée; si l'on se donne le nombre positifs et si l'on choisit K et a tels que l'on ait

on voit qu'il y aura une décomposition pour laquelle S — S sera moindre que s.

Cette dernière forme de la condition d'intégrabilité est due à Riemann ; elle montre en particulier que si la fonction fix) est intégrable dans l'intervalle (a0, a), elle est encore intégrable dans tout intervalle contenu dans celui-là.

C'est des fonctions intégrables que je m'occuperai surtout. Je n'ai guère parlé des intégrales par excès et par défaut, dont l'introduction est due à M. Darboux (1), que pour mieux éclaircir la notion de l'intégrale définie proprement dite. Toutefois avant de m'occuper exclusivement des fonctions intégrables, je dois introduire

(') Annales de l'Ecole normale, '>c série, t. IV.