Voici maintenant quelques exemples. Soit l'intégrale

ft dx

Jp (x-a* + b>'

on posera

x = a -+■ by ;

aux valeurs p et £ de la variable x correspondront les valeurs

de la variable y, et l'on aura

J^ dx i I b dy if , l — a , p — al

(.-.).-H. = tJ<i r+f=bl*K'S-b- -arctgt-g-j,

le symbole arc tg désigne toujours, suivant nos conventions, un nombre compris entre et H — : si 1 on suppose que ç augmente

indéfiniment par valeurs positives et p par valeurs négatives, la quantité entre crochets tendra vers 7E si b est positif, vers — tz si b

est négatif, en sorte que l'on aura

dx

(œ^Y)^r^ = Tb S^H1)-

Soit encore l'intégrale

dx

a sin2x -+- b cos2rr;

où a, b sont des nombres positifs ; on est amené naturellement, afin de rendre rationnelle la quantité à intégrer, à faire la substitution x = arctg y; la fonction arctg 'y, toujours comprise entre

— - et -, est continue et admet, dans tout intervalle une dérivée