CHAPITRE VII. INTÉGRALES DEFINIES

A la vérité, en fractionnant convenablement l'intervalle d'intégration, on peut s'arranger pour que chaque intervalle partiel soit

contenu dans un intervalle tel que Lmz — ~ , n- ~\ — j et chacune

des intégrales se ramène alors par un changement de variables de la forme x = nn H- x' à une intégrale du type précédent ; mais il est préférable de s'adresser à une fonction continue ayant pour dérivée

a sin"2cc -+- b cos2cc

On a défini une telle fonction à la fin du n° 214 ; c'est, avec les notations de ce numéro

^Arctglyftg on a donc, quel que soit le nombre 5,

râsWv/i**)-

a sin2x -h b cos2x Jajj

Le lecteur n'aura aucune peine à reconnaître que la relation

(r — e cos y) (i -f- s cos x) = i — s2,

où c désigne un nombre positif <C i, permet de définir soit y comme une fonction continue de x, soit x comme une fonction de y, de manière que les deux fonctions s'annulent en même temps et varient dans le même sens ; leurs dérivées sont données par la formule

dy y/i — £2 i — £ cos y

dx I -j- E cos x ~ ^j £2

ces deux fonctions peuvent d'ailleurs s'écrire sous la forme y = 2 Àrc tg (y f=-g «g *), * =• 2 Arc tg [\/ j-±-[ tg £].

Le changement de variable défini par ces relations conduit aux formules suivantes

rx dx 1

£ COS X)n

— s cos y)n~

ldy,

— e cosy)n —

1 iy .

cos"y '

dans la première n et £c sont quelconques; dans la seconde, si a est un nombre négatif dont la valeur absolue est une fraction irréductible à dénominateur impair, x peut être quelconque ; autrement il doit être intérieur à l'intervalle ( — a, a) en posant

arc cos — e

y est alors intérieur à l'intervalle

Il convient d'observer qu'un changement de variable très simple permet de ramener l'un à l'autre les problèmes traités aux nos 255 et 256.

La fonction de y

varie toujours dans le même sens ; si l'on suppose que — y n'appartienne pas à l'intervalle (60, b), on pourra choisir X, [X de manière que les nombres b0, b correspondent aux nombres a0. a et par conséquent transformer une intégrale où les limites sont aQ, a en une autre où. les limites soient 60, b. Si l'une (seulement) des limites est infinie, on peut par ce procédé, la remplacer par une autre intégrale où les deux limites soient finies ; inversement, on peut s'arranger pour qu'une des limites soit infinie. On prévoit, sans que j'insiste davantage, que les questions relatives à la signification d'une intégrale dans laquelle la fonction sous le signe /

devient infinie pour l'une des limites d'intégration, ou pour laquelle l'une des limites est infinie, se ramènent l'une à l'autre; on n'a parlé des critères logarithmiques que dans le second cas; il est bien aisé de reconnaître qu'ils s'appliquent aussi directement au premier.