CHAPITRE VII. INTEGRALES DEFIMES

Les méthodes exposéees aux nos 255, 256 pour traiter ce genre de questions ne s'appliquent pas toujours ; elles ne s'appliquent pas, on l'a déjà dit, aux intégrales

s'mx^dx, I cosx2dx.

C'est par une méthode spéciale qu'on prouvera que ces intégrales ont un sens ; il suffira de raisonner sur la première.

Soit

J = I sin a:2 dx,

il s'agit de montrer que, lorsque le nombre positif 'c. augmente indéfiniment, la quantité J tend vers une limite. La fonction sin x2 reste positive quand x varie de \Ji nr à v/(an -+- i)-, négative quand x varie de \/(2n -+- i)tc à ^{211 -+- 2)71 ; on peut donc poser

J = u0 — ut -1- «2 — ... ± up zp ii'p, en faisant

uîn = I ___ sin x2 dx,

JV(an+2)Tt sinx2dx ;

l'indice p est égal à la partie entière de ; le dernier terme q= Up est égal à

I s\nx2dx.

En faisant dans les deux termes u.,n, h2w+1 les substitutions respectives

x = v^aTt n + j, x = /(2 n -h 1) - H- y, on trouve sans peine

1 / " sinyrfy 1 fl ûnydy

2Jo vait/i+j 2Jo v(2/i+i)^+j

en posant

(3 = \/(2 n -+- i) t — v/a n*-, P' = y/(2 n -+- 2)tt — y/(a n+. i)it;

ces formules entraînent les inégalités

P' < p < il.

Les deux quantités uin, u2n+1 sont positives et la seconde est plus petite que la première : on a en effet

J~^ sinydj j H sin y dy Ç ' sin y dy

o \/2 7*TtH-y J0 \Z2mz-\-y Jp' y/a mr -h j

le second terme du second membre est positif; d'ailleurs l'inégalité

sinydy f ^ s'mydy

Jo y/amt -f- j J0 y (in -+- i)tt -h y résulte de ce que l'on a, pour les valeurs de y comprises entre o et %, sin y sin y

V ' i mz -+- y \/(2 n -\- ij^ + J

on établit de même l'inégalité

Les termes u.2n, uill+i tendent vers o quand n augmente indéfiniment; dans l'intervalle (o, j3), en effet, on a

sin y \/2 wz + y

y/amt