CHAPITRE Vil. INTEGRALES DEFIMES

p, augmentent indéfiniment. Dans ces conditions J a pour limite

la somme de la série convergente

«0 — uL -+- u., — ... -f- uln On démontre d'ailleurs que l'on a

I sin x2 dx = I cosx2dx

260. — Soit f(x, y) une fonction des deux variables x, y définie et bornée dans l'ensemble (XY) des systèmes de valeurs qui satisfont aux conditions

a0, a, b0, b étant des nombres donnés. Si, lorsque l'on attribue à y une valeur fixe appartenant à l'intervalle (60, b), la fonction f,x, y , regardée comme une fonction de x, est intégrable dans l'intervalle (a0, a), et cela, quelle que soit la valeur choisie pour y, l'intégrale

J «fi

f(x,y)dx

définira, dans l'intervalle (b0, 6), une fonction de y : désignons cette fonction par <p(y) ; on peut se demander si elle est continue et si elle admet une dérivée dans l'intervalle (60, 6).

Soient y , y" deux valeurs appartenant à cet intervalle, on aura

(2) ? (/') - ? (/) = fa[f(x, y") -/(*, y')]dx.

Regardons pour un moment y1 comme donné; si à chaque nombre positif e correspond un nombre positif yj tel que, pour toutes les valeurs de x, y" qui vérifient les inégalités

(3) on ait

la fonction <p (y) sera continue pour y = y' ; on aura en effet, pour toutes les valeurs de y" qui vérifient les inégalités (3),

Ir(j")-?(J')I^(« -«<>)•

Si à chaque nombre positif s correspond un nombre positif yj tel que l'inégalité (4) soit vérifiée pour toutes les valeurs de x, y', y" qui vérifient les inégalités

la fonction <p(y) sera continue dans l'intervalle (60, 6). Il en sera ainsi certainement si la fonction des deux variables x, y est continue (n° 165) dans l'ensemble (XY) défini par les inégalités (1).

Si, en particulier, la fonction f(x, y) admet une dérivée f'y(x,y) par rapport à y, pour chaque système de valeurs x, y appartenant à l'ensemble (XY), et si cette dérivée reste toujours inférieure en valeur absolue à un certain nombre positif M, on aura, quelles que soient les valeurs x, y', y" appartenant à l'ensemble (XY),

dans ce cas la continuité de la fonction m (y) est manifeste.

Cette continuité étant supposée, ainsi que l'existence de la dérivée/^ (se, y), on a, en supposant toujours que y', y" appartiennent à l'intervalle (60, b),

(5) ? if) - ? if) f fj*, j") - Z(*. y') dx

Regardons dans cette égalité y' comme fixe et faisons tendre y" vers y' ; la quantité

où la seule variable est y", tendra vers la limite f'y(x, y'), en désignant par ce symbole ce que devient f'v{x, y) quand on y remplace y par y' ; on ne peut en conclure que le second membre ait pour limite

a fv^y')dx