CHAPITRE VII. INTEGRALES DEFINIES

ni même que ce symbole ait un sens ; mais cette conclusion deviendra légitime, si la fonction de x, f'v{x, y'), est intégrable clans l'intervalle (ciq, a) et si, en outre, à chaque nombre positif s correspond un nombre '(] tel que l'on ait, pour toutes les valeurs de x appartenant à l'intervalle (a0, a),

f(x, y") — f(x, y') fl , „ r^-^y y ' —fv (x> 7)

sous les seules conditions

Dans ce cas, en effet, la valeur absolue de la quantité

J J Ja0

OU

sera, pour toutes les valeurs de y" qui vérifient les inégalités (7), plus petite que (a — a0)s.

On sera certainement dans ce cas si la fonction f'y(x, y) est continue dans l'ensemble (XY) ; on a, en effet (n° 216 )

en désignant par y" un nombre compris entre y' et y" ; l'inégalité (6) équivaut donc à la suivante :

si à chaque nombre positif s correspond un nombre positif yj' tel que cette inégalité soit vérifiée sous les seules conditions

ao = ^ = a> 60 < y" <Ç 6

Tannery II. — Introduction à la Théorie des fonctions 6

et c'est ce qui aura certainement lieu quand la fonction f'Jx, y) des deux variables x, y est continue dans l'ensemble (XY), il est clair que l'on pourra satisfaire aux inégalités (6) sous les conditions (7) et que l'emploi de la formule

I>J H/O. J)l dxdy = \\jU{x, y)]dx

sera légitime pour toutes les valeurs de y qui appartiennent à l'intervalle (b0, b .