III. — INTÉGRALES EULÉRIENNES

261. — Les règles qu'on vient de donner, soit pour reconnaître la continuité d'une intégrale définie qui contient un paramètre variable et que l'on regarde comme une fonction de ce paramètre, soit pour prendre la dérivée de cette fonction par rapport au paramètre, sont soumises à des conditions trop étroites ; beaucoup de travaux ont eu pour objet d'obtenir des conditions plus larges ; malgré l'intérêt et l'importance pratique de ces travaux, je n'en développerai pas les résultats et je me contenterai de traiter un exemple.

Ainsi qu'on l'a vu au n° 257, l'intégrale

(1) I xv-1e-*dx = T(y)

est une fonction définie de y, pour toutes les valeurs positives de y. Je signale, en passant, la propriété qu'exprime l'égalité

(2) r(y+ i)=yv(y)

où, bien entendu, on suppose y positif; cette égalité s'obtient en partant de la relation

[xVe~xJ =yxv-ie~x — ocVe-x,

où le premier membre désigne la dérivée par rapport à x de la quantité entre crochets ; il suffit d'intégrer les deux membres entre les limites o et ce , ce qui donne o pour le premier membre.