CHAPITRE TH. INTÉGRALES EULER1EINNES
De la relation (2) résultent immédiatement les formules suivantes, où y désigne un nombre naturel plus grand que 1
on reconnaît d'ailleurs directement que l'on a
La fonction T (y) est continue dans tout intervalle [a, b) borné par des nombres positifs. Ceci, toutefois, n'apparaît pas sur la définition (1), parce que, si y est plus petit que 1, la fonction
sous le signe / n'est pas continue pour x = o et parce que la limite
supérieure est infinie. Cette continuité peut s'établir comme il suit ; on a, quels que soient les nombres positifs a et A,
xv-ie-zdx -+- I xv-*er-xdx -h I xv-le~xdx.
Or, si on se donne un nombre positifs, on peut prendre a assez petit et A assez grand pour que la première et la troisième intégrale du second membre soient plus petites que s, quelle que soit la valeur de y appartenant à l'intervalle (a, b . On a en effet, en supposant a <C b, puis a <C 1, A >> 1,
x,J~le J'dx <C I xa~ie~~ xdx
Jxy-ie-xdx <C I xb-le--rdx.
A Ja
Dire qu'on peut prendre a assez petit, A assez grand pour que les seconds membres de ces inégalités soient moindres que s, c'est dire que les intégrales qui figurent dans ces seconds membres ont un sens.
D'un autre côté, en vertu des règles du numéro précédent, l'intégrale
ç (y) = I x1J~~ie~J:dx
est continue. La démonstration peut maintenant s'achever à peu près comme au n° 180 :
Après avoir choisi a. assez petit, A assez grand pour que l'on ait, en supposant que y appartienne à l'intervalle [a, 6),
xy-ie -xfix <^ £j A
on peut faire correspondre au nombre s un nombre positif yj, tel que l'on ait
sous la condition que les deux nombres y, y -h h appartiennent à l'intervalle (a, b) et que l'on ait | h | <C r\. On a d'ailleurs
aP+h-ie-xdx — i x1J-]e-*dx
xv+h-le--rdx — | xv-^-'dx
-H?(JH-^) — ?(j),
et, par conséquent, sous les conditions précédentes,
la continuité est évidente.
Si, sans se préoccuper de la légitimité de l'application, on calcule par la règle du numéro précédent, la dérivée de l'intégrale définie T (y) par rapport à y, on trouve
I e-xx1-'-'i logxdx.
Mon but est de prouver que cette expression est effectivement égale à V (y). Le premier point serait d'établir qu'elle a un sens ; il est aisé de montrer, plus généralement, que l'expression
I e~Txy-i \02nxdx,
CHAP1TKE VII.
INTEGRALES EULERIEÎSN'ES
où n est un nombre naturel quelconque, a un sens pour y ;> o et même qu'elle représente une fonction continue de y : je ne m'arrêterai pas à ce point, qui est facile, et je désignerai, dans ce qui suit, par Q (y) la fonction de y dont il s'agit d'établir qu'elle est égale à T' (y) .
La légitimité de la formule
fA
■J (y) — ! erxx,J~'i log x dx,
où a et A sont des nombres positifs, résulte du numéro précédent. Puisque l'intégrale qui figure dans le second membre conserve un sens quand on la prend entre les limites o et go , c'est que, y étant donné, on peut, à chaque nombre positif s, faire correspondre des nombres positifs a0 et A0 tels qu'on ait
e~xx'J~ï logxdx
e—xxy—l \ogxdx
sous les conditions o<a< ao, A ;> A0 ; sous les mêmes conditions, on peut donc écrire
Or, on a
e xxy~
-, — loa; x dx h °
e~xx,J~ i — -, — losvr dx.
Quand h est très petit en valeur absolue, — -, est voisin de
log x; on peut prévoir que la première, par exemple, des intégrales qui figurent au second membre est voisine de
e~xxy~i log2xdx
intégrale dont on sait qu'elle a un sens, lorsque y et a sont positifs, et qui peut par conséquent être supposée aussi petite qu'on le
veut, pourvu que a soit assez petit. 11 doit en être de même pour la première intégrale du second membre.
Afin de justifier cette dernière assertion, rappelons d'abord (n° 216) que l'on peut écrire, en désignant par X un nombre positif moindre que i ,
xh l ehloonX l
= r— — = x log X,
en sorte que le coefficient de dx, dans notre première intégrale* peut s'écrire
e--TXy-îrj^ll J0g2 œ<
Dans ce coefficient, x doit prendre des valeurs appartenant à l'intervalle (o, a), donc plus petites que i, si, comme il est évidemment permis, on suppose a<i, D'ailleurs dans le- même coefficient, tous les facteurs sont positifs, on aura clone
e-xxy-\x^h j0g2 x ^ e-xxJ — i — rl0 jQg.2 Xf
en désignant par yj0 un nombre supérieur à [ h \ . Je le supposerai en outre moindre que y. Sous ces conditions, l'inégalité
e-xxV-i — log X(j[x < i e~xxy — ^o—1 l0g2 x jx
est évidente. D'ailleurs, quand on se donne le nombre positif y et que l'on a choisi le nombre positif yjo, l'intégrale qui figure dans le second membre a un sens ; c'est donc qu'on peut, à chaque nombre positifs, faire correspondre un nombre positif a'0 tel qu'on ait
I e~xa? r'° r log2 a? dx «< s sous la condion a <C a'0 et, par conséquent,
e~xxv~ * r — log a: (fa < e
