CHAPITRE Vil

INTEGRALES EULERIENNES

sous les conditions en, «< &,'&t \ h | <C 270. On prouverait de même qu'il existe un nombre A^ tel que l'on ait

ekxxy-l

~. log x dx

sous les conditions A >• A'0, | h j <C vj0 •

Sous les mêmes conditions, on pourra donc écrire

Ayant pris arbitrairement yj0 <C y, ayant ensuite pris a inférieur au plus petit des nombres a0, a'0, et A supérieur au plus grand des nombres A0, A', on peut faire correspondre au nombre positif s un nombre positif yj •< r,o tel que, que sous la condition \h\ <^Y], on ait

?.t+^iw î,w

ou en raison de l'inégalité (k)

îfc+^=JEÛ4 e(y)

et, finalement,

r(r + *)-r(r)tw|<5.

toujours sous la condition j/îj-< "/J. Il est donc bien prouvé que 0(y) est la dérivée de V (y).

Un raisonnement analogue montrerait que l'on a, en général

dnV (y) dyn

e—x xy-l \0on x(lXt

262. — La fonction T (y) peut être mise sous une autre forme que l'intégrale

e—x xy— 1 ^x

par laquelle on l'a définie. Si n désigne un nombre naturel très

grand, e~x est à peu près égal à ( i — - ) ; on est ainsi porte a

penser que l'intégrale qui définit T (y) est voisine de

) xv~L dx.

-) x'J-L nf

On montrera tout à l'heure que l'on a effectivement (i) lim.l I e -x xy~{ dx — i (i — -\ xv~l dx 1= o

Je me propose d'abord d'évaluer l'intégrale I (i — -) xu~ldx. En y faisant le changement de variable x = ni, elle devient

1 ( i — -) xv-1 dx = nv I (i — t)n VJ-1 dl.

Si l'on intègre, entre les limites o et i, les deux membres de l'identité

dt on trouve

i[{i — t)n &} = y (i — t)n t'J -1 — n (i — t)»-1 tv,

(ï - t)n Vj^ dy = 1 (i -i)"-1 Vdy

nia — i ... i

et par suite

y (J-+ O (j H" 2) ••• (J + «) En admettant la proposition énoncée plus haut, on aurait donc

(2) —,— £— r = — i-, = lim. n-»( i ■+■ ? ) f