CHAPITRE Vil. INTÉGRALES EULERIEINNES 8g
La propriété qu'exprime cette égalité sera établie si l'on a établi la proposition qu'exprime l'égalité (i).
J'établirai d'abord cette dernière en regardant y comme un nombre fixe compris entre o et i.
On a évidemment
I e~x x'J-1 dx — ! ( i — - ) xv~l dx
= I xy~l\ e~x — ( i — X \ \dx -+- I e~x xy~{ dx.
Que la seconde intégrale qui figure dans le second membre tende vers la limite o quand n tend vers -h co , c'est ce qui résulte évi-
demment de ce que l'intégrale I e~x xv~l dx a un sens ; tout re-
Jo
vient donc à démontrer que l'on a
lim. | I e~x — ( i j \xy~'1 dx = o.
;i^co
L'étude qu'on va faire de la quantité entre crochets, que je désignerai par W (x), montrera que cette fonction, nulle pour x = o, est positive pour les autres valeurs de a: qui appartiennent à l'intervalle (o, n), qu'elle passe par un minimum et que la valeur de ce minimum est moindre que
(n — i)e Il résultera de là que l'on a
W (x) x»-' dx < H 7^-1^- ou
Jo ("— l)e
cette dernière quantité tend évidemment vers o quand y est un nombre fixe compris entre o et i et que n augmente indéfiniment. La proposition qu'exprime l'égalité (5) sera donc établie pour ces valeurs de y, dès qu'on aura établi les propriétés de W (x) qu'on a annoncées plus haut.
L'égalité
montre que W (x) s'annule en même temps que la fonction
ç (x) = x H- (n — i) log ( i — ^ j,
dont la dérivée est . On reconnaît sans peine que la fonction
/i — x ri
■(p(x) s'annule une seule fois dans l'intervalle (o, ri) et cela, pour une valeur Xo qui est plus grande que i . Cette valeur x0 correspond à un maximum de W (as), lequel est égal à
M = e-xo—(i—^\=(i—n ^°;
la dernière égalité résulte de ce que W (xQ) est nul ; la fonction W (x) croît de o à M dans l'intervalle (o, x0), décroît de M à e~n dans l'intervalle (x0, n) ; W(x) s'annule pour x = o et est positif pour les autres valeurs de l'intervalle (o, ri). Enfin, si l'on regardait M comme une fonction de x0, on verrait immédiatement que, dans l'intervalle (o, ri), le maximum de M a lieu pour x = i ; il est
On a d'ailleurs
car cette inégalité équivaut à la suivante
qui devient évidente en développant le logarithme en série. On a donc
(n — i)e c'est ce que l'on avait annoncé.
