L'égalité

w ïrâ-iH'+î)('.fi)-('+9]

est donc établie pour les valeurs de y comprises entre o et i, et la démonstration même prouve que, pour ces valeurs, la quantité entre crochets tend vers une limite, lorsque n augmente indéfiniment.

Il est aisé d'établir directement cette dernière affirmation pour toutes les valeurs de y.

Remplaçons en effet, dans la quantité entre crochets, n~~y par une puissance de e dont l'exposant soit

ylogn= — y ( i -h l + l -i- ... + ~ — C —

en désignant par C la constante d'Euler n° 194; et par an une quantité qui tend vers o quand n augmente indéfiniment ; on aura

^(.-H?.- .-HZ )-■{... .+5 e~i (.+

en posant

en sorte que ê„ tend vers o quand n augmente indéfiniment. On va montrer, que si l'on pose en général

le produit infini

JJ (i + ",)

est absolument et uniformément convergent pour les valeurs dey appartenant à n'importe quel intervalle, en sorte qu'il représente une fonction /(y) continue dans tout intervalle,.

g 2 INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

Si l'on admet qu'il en soit ainsi, il est clair que l'on aura, quel que soit y,

Quant à la convergence uniforme du produit infini, elle résulte de ce que l'on a, en vertu de la définition de ur,

et de ce que, si À désigne un nombre positif quelconque, la série, à termes positifs,

est manifestement convergente, en sorte que si l'on désigne sa somme par B, on a, pour toutes les valeurs de y qui appartiennent à l'intervalle ( — A, A),

la série dont le r'ème terme est ~2 étant convergente, le produit infini

dont le rlème facteur est 1 -+- ur est absolument et uniformément convergent dans l'intervalle ( — A, A).

Il convient de remarquer en passant la façon étroite dont la fonction/^), que l'on vient de définir, est liée à la fonction sin %x.

En partant de la relation

r=oo

sin r.x = TZX

établie au n° 200, on est tenté d'écrire

r=co