CHAPITRE VII. INTEGRALES DEFIMES II

quelques notions oxi interviennent soit les intégrales par excès ou par défaut, soit des considérations très analogues à celles que je viens de développer.

243. — Considérons un ensemble borné (E), dont tous les points appartiennent à l'intervalle (a, 6). Je vais définir une fonction f(x) dans cet intervalle : si x est un point de (E), on prendra f(x) = i ; si x n'appartient pas à (E), on prendra/ x) = o. Cette fonction étant bornée, les intégrales par excès et par défaut (*)

j f{x) dx, l f(x) dx

ont une signification précise. La valeur de la première est l'étendue extérieure de l'ensemble (E), la seconde est retendue intérieure de cet ensemble. Ces nombres ont été introduits dans la théorie des ensembles par M. G. Cantor et par M. Jordan. Lorsqu'ils sont égaux, lorsque la fonction f(x) est intégrable, au sens que l'on a donné à ce mot au n° 242, l'un ou l'autre est ce que l'on appelle la mesure de l'ensemble (E) au sens de M. Jordan.

Si l'on se reparle à la définition des intégrales par excès ou par défaut, on voit que la somme supérieure relative à une décomposition est la somme des écarts des intervalles partiels auxquels appartient quelque point de l'ensemble (E), que la somme inférieure est la somme des écarts des intervalles partiels dont tous les points appartiennent à (E). Ces deux sommes sont des valeurs approchées des étendues extérieure ou intérieure de E , aussi approchées qu'on veut, pourvu que les écarts des intervalles partiels de la décomposition soient assez petits.

L'ensemMe (Ei), complémentaire de l'ensemble (E) par rapport à l'intervalle (a, 6), est, par définition, l'ensemble des points de cet intervalle qui n'appartiennent pas à (E). Si l'on considère une décomposition quelconque de l'intervalle (a, b), un intervalle partiel qui contient quelque point de (E), contiendra un point qui n'appartient pas à (Ei), il ne figurera donc pas dans la valeur ap-

(') J'utilise ici, comme je l'ai fait d'ailleurs déjà au n° 239, l'exposition cle M. de la Vallée-Poussin, dans son Cours d'Analyse infinilésimale.

prochée de l'étendue intérieure de l'ensemble (Et) ; ne figureront dans cette valeur approchée que les intervalles qui ne contiennent aucun point de E, c'est-à dire ceux qui ne figurent pas dans la valeur approchée de l'étendue extérieure de (E) ; d'où celte conclusion :

Si (E) et (Ei) sont deux ensembles contenus dans l'intervalle (a, b) et complémentaires par rapport à cet intervalle, la somme de l'étendue extérieure de l'un et de l'étendue intérieure de l'autre est égale à 6 — a.

L'étendue extérieure d'un ensemble contenu dans l'intervalle (a, b) et dense dans cet intervalle est égale à 6 — a ; son étendue intérieure est nulle.

L'étude de la mesure des ensembles a fait l'objet de recherches très intéressantes (i).

244. — Observons d'abord que si l'on considère un ensemble dénombrable dont les éléments soient des intervalles, il estpermis de parler de la somme des écarts de ces intervalles (ou, plus brièvement, de la somme de ces intervalles) : c'est, en la supposant convergente, la somme de la série dont les termes, tous positifs, sont ces écarts ; si la série divergeait, on pourrait dire que la somme des intervalles est infinie ; c'est d'ailleurs au cas où elle converge que se rapporte ce que l'on va dire.

Un ensemble de nombres ou de points (E) est dit de mesure mille lorsqu'à chaque nombre positif s. correspond un ensemble fini ou dénombrable d'intervalles dont la somme est moindre que s et tels que chaque point de (E) appartienne au moins à l'un de ces intervalles.

Il suit de là que tout ensemble dénombrable est de mesure nulle ; en effet, si on se donne le nombre positif £, on peut former une série à termes positifs

Hi -h a2-+ ... + un -+- ...

dont la somme soit moindre que £ ; il suffit pour cela de partir

(') Voir, en particulier, les Leçons sur la théorie des jonctions de M. Borel et les Leçons sur V intégration et la recherche, des fonctions primitives de M. Lebesguc.

Je ne dois pas citer ce dernier ouvrage sans signaler l'extension de la notion d'intégrale qu'on y trouve. Malgré l'importance considérable de cette extension, elle m'a paru en dehors du cadre de la présente Introduction.