CHAPITRE VII. INTÉGRALES EULERIENNES q

mais les deux produits infinis qui figurent dans le second membre n'ayant pas de sens, ce second membre est, comme eux, dénué de signification ; au contraire, l'égalité

où les deux produits infinis du second membre sont convergents, d'après ce qui précède, est évidemment légitime ; on en conclut

(2) sin -kx = ■kxJ{x)J[ — x) = kx I < / 1 — -\

en entendant que, dans le produit J J , r doit prendre toutes les

valeurs entières (positives ou négatives), à V exclusion delà valeur o. L'égalité (1) ou, ce qui revient au même, l'égalité

ou encore, en désignant par £„ une quantité qui tend vers o quand 11 augmente indéfiniment,

n'est établie que sous la condition o <Z y <C 1. Il est maintenant aisé de voir que cette égalité, évidente pour y == 1, subsiste quelle que soit la valeur positive de y, c'est-à-dire pour toutes les valeurs de y pour lesquelles la fonction

e~x xy~l dx

s. été définie.

Remarquons en effet que si l'on pose

g (y) =lim. f 1 ■ a ... n X &->■ 1 1 . 2 ... n X r1

n=ooLj(j + i)... (j + ,î)J-y(JH-,)...(j + ^I + E")'

la fonction g (y), définie pour toutes les valeurs de y qui ne sont pas des nombres entiers nuls ou négatifs, jouit delà propriété

g (y -f l)=yg (j)

établie plus haut pour la fonction T (y), en partant de l'intégrale définie : on a en effet

Le second membre, quand n grandit indéfiniment, tend vers y ; d'où résulte la proposition à démontrer.

Soit alors en supposant y > i , K la partie entière de y et

j = Kh-j0 (o<j0<i).

On aura

et, puisque g (y0) est égal à T (y0), il faut bien que g (y) soit égal à T (y).

On peut donc regarder la définition de g (y) comme une nouvelle définition de la fonction T (y) définie d'abord, mais incomplètement, au moyen d'une intégrale : la nouvelle définition s'étendant à toutes les valeurs de y autres que o, — i, — 2, ... ; il revient exactement au même de définir la fonction T (y) par les

égalités

y^f{y), f[y) = II (1 + r)e

d'où il suit que T (y) est l'inverse d'une fonction continue dans tout intervalle, fonction qui s'annule pour y = o, — i, — 2, ..., et seulement pour ces valeurs. De ces égalités et de l'égalité (3) résulte immédiatement la relation

sin iï x

qui pour x — - donne

d'où l'on déduit, en remplaçant x par x2,