SUR QUELQUES DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

264. — Reprenons la formule, établie au n° 231. (/(* + h) = /<*) + \f (x) H- ï^f'(x) -h ...

^ i . 2 ... (n — x)J w i , i ... (n — i) pJ v ;

5 est un nombre compris entre o et i, n et p sont des nombres naturels. Cette formule sera légitime si la fonction f (x) admet une dérivée nlème dans un intervalle auquel appartiennent les nombres x, x -h h, ce qui implique la continuité de la fonction f (x), l'existence et la continuité des dérivées jusqu'à l'ordre n — i, dans cet intervalle.

Supposons que ces conditions soient vérifiées quelque grand que soit n, et que, eu outre, pour les valeurs considérées de x et h, le terme complémentaire

ait pour limite o quand n augmente indéfiniment ; alors la série indéfinie

/(•)+£/«*)+ rrJ"W + - + 1,2.!t(n1 l)/("-1) (*) + -

sera convergente et aura pour somme/ (x H- /i\ puisque la somme de ses n premiers termes diffère de/(x + h) d'une quantité qui a

pour limite o quand n augmente indéfiniment ; on pourra donc écrire alors

cette formule permettra de développer la fonction/ (x -+- h) suivant les puissances entières et positives de h, si les conditions pour qu'elle soit applicable sont réalisées ; à la vérité, il est souvent difficile de reconnaître qu'il en est ainsi, lorsqu'on part d'une fonction donnée f(x) ; l'expression générale de la dérivée 7i'ème de cette fonction peut être fort compliquée, et il devient alors fort malaisé de reconnaître si le terme complémentaire tend vers o quand n augmente indéfiniment.

On reconnaît immédiatement que ce terme complémentaire tend vers o, pour les fonctions f (x) telles que leurs dérivées fn (x) restent toutes inférieures, en valeur absolue, à un nombre positif fixe pour les valeurs de x appartenant à un certain intervalle. C'est ce qui arrive pour les fonctions sin x, cos x, ex, auxquelles la formule (i) s'applique sans difficulté.

Quand on a affaire à une fonction f (x) dont on sait que / {x -+- h) est développable en une série qui procède suivant les puissances entières et positives de h et pour laquelle on sait effectuer le développement, la formule (2) permet, en s'appuyant sur ce que ce développement ne peut s'effectuer que d'une seule façon (n° 173), de trouver la forme de la nlème dérivée f(n) (x) de f {x).

Si, par exemple, on prend f{x) = e~x2, on trouve sans peine, pour la dérivée /i,ème de cette fonction, l'expression

( ï)n e-*2 T (2CC)« 1(n — l ) (2£C)»-2 + ...

^.n[n— 1) ... (n — at-l- 1)

la quantité entre crochets est un polynôme de degré n dont le dernier terme s'obtiendra en faisant i = — - — ou i = - suivant que n sera impair ou pair.