CHAPITRE VIII. SUR QUELQUES DEVELOPPEMENTS EN SERIE

La formule de Maclaurin (n° 232),

V i \ *n— i Tt %)n~ iJ r"

/ h * , /(«-*> (o) -+- — vL * /(«) (6x),

suppose que la n'ème dérivée f^ (se) de la fonction /(a?) existe dans l'intervalle (o, xj. Elle donne lieu aux mêmes observations que la formule dite de Taylor, d'où elle a été déduite. Si elle est applicable quelque grand que soit n et si le terme complémentaire

i . 2 ... [n — i) pJ v ' tend vers o quand n augmente indéfiniment, la série indéfinie

sera convergente et aura pour somme /(as) ; si l'on arrive à reconnaître que ces conditions sont réalisées, on pourra donc développer la fonction f(x) suivant les puissances entières et positives de x par la formule

Cette formule s'applique immédiatement, en vertu d'une remarque faite sur la formule de Taylor, aux fonctions eT, sin x, cos x et d'une façon un peu plus difficile, aux fonctions i i ~\-x)m, log (i -+- x), -àrctgx, lorsque ce est intérieur à l'intervalle ( — i, i). On montre alors que le terme complémentaire tend vers o quand n augmente indéfiniment. Je ne m'y arrêterai pas.

265. — À la formule de Taylor se rattache une formule importante dite habituellement formule sommatoire de Maclaurin, bien qu'elle soit due à Euler, qui en a d'ailleurs tiré grand parti (*).

(') Institutiones calculi differentialis. Chap. \ . L'attribution de celle formule à Euler est due à M. Enestrôm ; voir dans le tome V des Acta Mathematica p. 2 la réimpression du mémoire de Malmsten. Sur la formule

h A , , B,/i2 nu* = Ah» — A«.c + -J— ±ux — ...

C'est, pour ce qui concerne le reste de la série, l'analyse de Malmsten qu'on trouvera plus loin.

Tanneiiy II. — Introduction à la Théorie des fonctions 7

Soit / (as) une fonction dont je supposerai qu'elle admette, dans un intervalle auquel appartiennent les valeurs x, x -\- h de la variable, des dérivées continues f'{x), /"(as), ... d'un ordre au moins égal à l'ordre de celles qui figureront dans Les formules qui vont suivre ; posons pour abréger

fd) (x 4 h) — /«> {x) = JLJM (x) ; on pourra écrire

(I) 1 hàf (x) = }^f"(x) + ... + 1.a..^l)/(y)(^) + ^1Pi>

/i?-1 A/(*-*) (x) = — fM(x)-i-& |-1Pi.-i.

en posant, suivant qu'on adople une forme ou l'autre du terme complémentaire de la formule de ïaylor,.

P'=r.,...(pr-i-^T)/"+'ft)

OU

Pi = ra „;(p.;, jT'C" - 0"-7"+' (- + '") * :

dans ces formules i doit prendre les valeurs o, i , 2 . . . , p — r ; dans la première § désigne un nombre dont on sait seulement qu'il est compris entre x et x -+- h. Il est clair que, entre les équations (r), on peut éliminer les quantités

Bf(xJ, h*f'(x),...} hvfiP)(x).

il suffit pour cela de les ajouter membre à membre après les avoir multipliées par des nombres A0, Al5 .... Ap-i qui vérifient les équations

Aft =

An A. A,,i