CHAPITRE VIII. SUR QUELQUES DEVELOPPEMENTS EN SERIE QQ

Si l'on adopte ces valeurs peur A0, A1} ..., A2,i., on aura (2) A0A/HH-A1A//(rr)+ ... -+-Av iAf(i>-i)(x)=A0hf(x)+hP+%, en posant, pour abréger,

S;J = A0o0 4- AjOi h- ... + Ap 1o7J 1.

Des équations qui déterminent A0, Ai, ..., A?J i on tire successivement

A0= 1, At = — ~, A2 = ^, A3 = o, ...

On remarquera d'abord que, si l'on augmente p, les premières équations restent toujours les mêmes, en sorte que les valeurs écrites ci-dessus, par exemple, conviennent quelque grand que soit p. Les valeurs des coefficients A0, Ai, Ao, ... sont manifestement rationnelles.

Enfin ces équations ne dépendent en aucune façon de la fonction f(x) et cette remarque, en prenant pour f(x) des fonctions particulières, va nous fournir des renseignements sur les valeurs des nombres Ao, Ai, . .., Ap i.

En prenant d'abord f(oc) = er, les quantités Af(x), Af'(x), ... sont toutes égales à

g-T+h , gX qX ^h j )

en sorte que la formule (2) donne, après avoir divisé par ex(eh — a), et en tenant compte de ce que A0 est égal à 1,

en ]1 , = i+M+ A2^ + ... + A„^- - ^ h* ;

cette dernière formule subsiste pour h — o, si l'on convient d'attribuer alors la valeur 1 à la fonction b- qui, dans ces conditions,

est une fonction continue, quel que soit Ji. Dans le dernier terme du second membre, le coefficient de h1' est une fonction bornée de /i, pour h voisin de o ; il résulte de là que ce second membre n'est auLre ebose que le développement par la formule de Maclaurin de la fonction de h

développement qui contient p termes réguliers et le terme complémentaire

eh — 1

Puisqu'il ne peut s'effectuer que d'une seule façon (n° 194), A„ est la valeur, pour z = o, cle la dérivée /ïiènie de la fonction

divisée par 1.2.3 ... n.

Bien que la conclusion ne suppose pas qu'on ait établi la possibilité de développer cette dernière fonction en une série (indéfinie) entière en z, je prierai le lecteur d'admettre cette possibilité ; il me sera commode, dans un instant, de pouvoir l'invoquer. Dans un autre chapitre, on établira que ce développement est légitime, sous la condition \z\ <C 271 ; on a l'habitude de l'écrire sous la forme